Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa mãn x+y+z = 2018
Chứng minh \(\frac{x^3}{\left(y+z\right)^2}+\frac{y^3}{\left(x+z\right)^2}+\frac{z^3}{\left(x+y\right)^2}\ge\frac{1009}{2}\)
Mong các bạn giải theo THCS nhé. Cảm ơn!
cho x,y,z là ba số thực dương thỏa mãn x+y+z=2018
Chứng minh \(\frac{x^3}{\left(y+z\right)^2}+\frac{y^3}{\left(x+z\right)^2}+\frac{z^3}{\left(x+y\right)^2}>=\frac{1009}{2}\)
Tham khảo:Simple inequality
(Croatia 2004) Cho ba số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng:
\(\frac{x^2}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{y^2}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\frac{z^2}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\ge\frac{3}{4}\)
Động não tí đi Quỳnh, a thấy bài này cũng không khó.
Bài dễ mừ, có phải Croatia thật ko vậy :)) (viết đề bị nhầm, là x,y,z dương chứ :))
Áp dụng Cauchy-Schwarz dạng cộng mẫu số:
\(\frac{x^2}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{y^2}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\frac{z^2}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\ge\)
\(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)+\left(y+z\right)\left(y+x\right)+\left(z+x\right)\left(z+y\right)}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\left(xy+yz+zx\right)}\)
Xét \(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\Rightarrow\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}\)
\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\frac{4}{3}\left(x+y+z\right)^2}=\frac{3}{4}\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y=z, Xong! :))
Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn xyz=1. Chứng minh: \(\frac{1}{x^3\left(y+z\right)}+\frac{1}{y^3\left(z+x\right)}+\frac{1}{z^3\left(x+y\right)}\ge\frac{3}{2}\)
\(\frac{1}{x^3\left(y+z\right)}+\frac{1}{y^3\left(z+x\right)}+\frac{1}{z^3\left(x+y\right)}\)
\(=\frac{y^2z^2}{x\left(y+z\right)}+\frac{z^2x^2}{y\left(z+x\right)}+\frac{x^2y^2}{z\left(x+y\right)}\)
\(\ge\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{xy+yz+zx}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}{2}=\frac{3}{2}\)
Cho các sô thực dương x,y,z thỏa mãn xy+yz+zx=3 .CMR:\(\frac{1}{xyz}+\frac{4}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\ge\frac{3}{2}\)
Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn : \(x+y\le z\)
Chứng minh rằng : \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)\ge\frac{27}{2}\)
Theo AM - GM và Bunhiacopski ta có được
\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2};\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge\frac{2}{xy}\ge\frac{8}{\left(x+y\right)^2}\)
Khi đó \(LHS\ge\left[\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+z^2\right]\left[\frac{8}{\left(x+y\right)^2}+\frac{1}{z^2}\right]\)
\(\)\(=\left[\frac{1}{2}+\left(\frac{z}{x+y}\right)^2\right]\left[8+\left(\frac{x+y}{z}\right)^2\right]\)
Đặt \(t=\frac{z}{x+y}\ge1\)
Khi đó:\(LHS\ge\left(\frac{1}{2}+t^2\right)\left(8+\frac{1}{t^2}\right)=8t^2+\frac{1}{2t^2}+5\)
\(=\left(\frac{1}{2t^2}+\frac{t^2}{2}\right)+\frac{15t^2}{2}+5\ge\frac{27}{2}\)
Vậy ta có đpcm
Ta có:
\(VT-VP=\frac{\left(x^2+y^2\right)\left(\Sigma xy\right)\left(\Sigma x\right)\left[z\left(x+y\right)-xy\right]\left(z-x-y\right)}{x^2y^2z^2\left(x+y\right)^2}+\frac{\left(x-y\right)^2\left(2x+y\right)^2\left(x+2y\right)^2}{2x^2y^2\left(x+y\right)^2}\ge0\)
Vì \(z\left(x+y\right)-xy\ge\left(x+y\right)^2-xy\ge4xy-xy>0\)
Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=3\)
Chứng minh rằng: \(\frac{1}{\left(2x+y+z\right)^2}+\frac{1}{\left(2y+z+x\right)^2}+\frac{1}{\left(2z+x+y\right)^2}\ge\frac{3}{16}\)
Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện \(x\ge y\ge z\).Chứng minh rằng:
\(\frac{xy+yz+zx}{x^2+xy+y^2}\ge\frac{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}{\left(x+z\right)^2+\left(x+z\right)\left(y+z\right)+\left(y+z\right)^2}\)
Cho các số dương x,y,z thỏa mãn x2+y2+z2=1.
Chứng minh: \(\frac{x+y+z}{xy+yz+xz}\ge\sqrt{3}+\frac{1}{2\sqrt{3}}[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2]\)
vì x2+y2+z2=1 mà x2+y2+z2>=xy+yz+xz suy ra 1>= xy+yz+xz
x2+y2+z2=1 suy ra (x-y)2=1-2xy-z2 ,(y-z)2=1-2yz-x2,(x-z)2=(x-z)2=1-2xz-y2
\(\sqrt{3}+\frac{1}{2\sqrt{3}}[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2]=\)
\(\sqrt{3}+\frac{1}{2\sqrt{3}}[3-\left(2xy+z^2+2yz+x^2+2xz+y^2\right)]\)(do (x-y)2=1-2xy-z2(y-z)2=1-2yz-x2,(x-z)2=(x-z)2=1-2xz-y2)
theo bdt cosi ta có:
\(\sqrt{3}+\frac{1}{2\sqrt{3}}[3-\left(2xy+z^2+2yz+x^2+2xz+y^2\right)]\)
\(\le\sqrt{3}+\frac{1}{2\sqrt{3}}[3-\left(2z\sqrt{2xy}+2y\sqrt{2xz}+2x\sqrt{2yz}\right)]\)
\(\le\sqrt{3}+\frac{1}{2\sqrt{3}}[3-3\sqrt[3]{\left(2z\sqrt{2xy}.2y\sqrt{2xz}.2x\sqrt{2yz}\right)}\)
\(=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}[1-2\sqrt{2}.\sqrt[3]{xyz^2}]\)\(=\sqrt{3}\left(1+\frac{1}{2}-\sqrt{2}.\sqrt[3]{xyz^2}\right)=\sqrt{3}\left(\frac{3}{2}-\sqrt{2}.\sqrt[3]{xyz^2}\right)\)
suy ra
\(\frac{x+y+z}{xy+yz+xz}\ge3.\sqrt[3]{xyz}\left(doxy+yz+xz\le1\right)\)
ta giả sử:
\(3\sqrt[3]{xyz}\ge\sqrt{3}\left(\frac{3}{2}-\sqrt{2}.\sqrt[3]{xyz^2}\right)\Leftrightarrow\sqrt{3}\ge\frac{3}{2}-\sqrt{2}.\sqrt[3]{xyz^2}\) mà \(\sqrt{3}>\frac{3}{2}\)
suy ra \(\frac{3}{2}\ge\frac{3}{2}-\sqrt{2}.\sqrt[3]{xyz^2}\)(luôn đúng) suy ra điều giả sử trên là đúng
hay \(3\sqrt[3]{xyz}\ge\sqrt{3}\left(\frac{3}{2}-\sqrt{2}.\sqrt[3]{xyz^2}\right)\)
mà \(\frac{x+y+z}{xy+yz+xz}\ge3.\sqrt[3]{xyz}\),\(\sqrt{3}+\frac{1}{2\sqrt{3}}[3-\left(2xy+z^2+2yz+x^2+2xz+y^2\right)]\)\(\le\sqrt{3}\left(\frac{3}{2}-\sqrt{2}.\sqrt[3]{xyz^2}\right)\)
suy ra \(\frac{x+y+z}{xy+yz+xz}\ge\)\(\sqrt{3}+\frac{1}{2\sqrt{3}}[3-\left(2xy+z^2+2yz+x^2+2xz+y^2\right)]\)
suy ra \(\frac{x+y+z}{xy+yz+xz}\ge\)\(\sqrt{3}+\frac{1}{2\sqrt{3}}[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2]\)(đpcm)
em mới có lớp 8, nếu em làm sai cho em xin lỗi nha anh
bạn ơi đk: 1 trong 3 số x,y,z là >=0 còn lại là >0 thì nó vẫn ra điều trên
Giả sử x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn điều kiện x+y+z=xyz. Chứng minh rằng:
\(\frac{x}{1+x^2}+\frac{2y}{1+y^2}+\frac{3z}{1+z^2}=\frac{xyz\left(5x+4y+3z\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)