Bpt \(\left(m-1\right)x^2+2\left(m+2\right)x+2m+2\ge\) vô nghiệm

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-1< 0\\\Delta'=\left(m+2\right)^2-\left(m-1\right)\left(2m+2\right)< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 1\\-m^2+4m+6< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 1\\\left[{}\begin{matrix}m< 2-\sqrt{10}\\m>\sqrt{2+\sqrt{10}}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m< 2-\sqrt{10}}\)

\(x^2-2x+4\sqrt{\left(4-x\right)\left(x+2\right)}-18+m\ge0\)

\(\Leftrightarrow-\left(-x^2+2x+8\right)+4\sqrt{-x^2+2x+8}\ge10-m\left(1\right)\)

Đặt \(t=\sqrt{-x^2+2x+8}\left(0\le t\le3\right)\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow10-m\le f\left(t\right)=-t^2+4t\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi 

\(10-m\le minf\left(t\right)=min\left\{f\left(0\right);f\left(3\right);f\left(2\right)\right\}=f\left(0\right)=0\)

\(\Leftrightarrow m\ge10\)

Vậy \(m\ge10\)

a, tự làm

b, để bpt có nghiệm đúng với mọi x thuộc R <=> \(^{\Delta}\)     \(\le\)   0 

1.

\(2\left|x-m\right|+x^2+2>2mx\)

\(\Leftrightarrow\left(x-m\right)^2+2\left|x-m\right|-m^2+2>0\)

\(\Leftrightarrow t^2+2t-m^2+2>0\left(t=\left|x-m\right|\ge0\right)\)

\(\Leftrightarrow m^2< f\left(t\right)=t^2+2t+2\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(m^2< minf\left(t\right)=2\)

\(\Leftrightarrow-\sqrt{2}< m< 2\)

Vậy \(-\sqrt{2}< m< 2\)

2.

\(x^2+2\left|x+m\right|+2mx+3m^2-3m+1< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+m\right)^2+2\left|x+m\right|+2m^2-3m+1< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(\left|x+m\right|+1\right)^2< -2m^2+3m\)

Ta có \(VT=\left(\left|x+m\right|+1\right)^2=\left(-\left|x+m\right|-1\right)^2\le\left(-1\right)^2=1\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(VP=-2m^2+3m>1\)

\(\Leftrightarrow2m^2-3m+1< 0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}< m< 1\)

\(f\left(x\right)=\left(m-2\right)x^2+2\left(4-3m\right)x+10m-11\le0\)

TH1: \(m=2\)

Bất phương trình tương đương \(-4x+9\le0\Leftrightarrow x\ge\dfrac{9}{4}\)

\(\Rightarrow m=2\) không thỏa mãn yêu cầu bài toán

TH2: \(m>2\)

\(f\left(x\right)\le0\forall x\in\left(x_1;x_2\right)\)

\(\Rightarrow m>2\) không thỏa mãn yêu cầu bài toán

TH3: \(m< 2\)

+) \(\Delta=-m^2+7m-6\le0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\le1\\m\ge6\end{matrix}\right.\)

\(f\left(x\right)\le0\forall x\in R\Rightarrow f\left(x\right)\le0\forall x< -4\)

Kết hợp điều kiện \(m< 2\) ta được \(m\le1\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

+) \(\Delta=-m^2+7m-6>0\Leftrightarrow1< m< 6\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(f\left(x\right)\) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \(x_2>x_1\ge-4\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m-2\right).f\left(-4\right)\ge0\\\dfrac{3m-4}{m-2}>-4\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Không tồn tại m thỏa mãn

Vậy \(S=(-\infty;1]\)

Không biết đúng chưa, bài này phức tạp quá.

\(ycđb\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\Delta\le0\Leftrightarrow\left(m-5\right)^2\le0\Leftrightarrow m=5\\1\le x1< x2\left(1\right)\\x1< x2\le-1\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Delta>0\Leftrightarrow\left(m-5\right)^2>0\Leftrightarrow m\ne5\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x1-1\right)\left(x2-1\right)\ge0\\x1+x2-2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x1x2-\left(x1+x2\right)+1\ge0\\5m-5-2>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6m^2-10m-\left(5m-5\right)+1\ge0\\m>\dfrac{7}{5}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m\le\dfrac{1}{2}\\m\ge2\end{matrix}\right.\\m>\dfrac{7}{5}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ge2\\m\ne5\end{matrix}\right.\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x1+1\right)\left(x2+1\right)\ge0\\x1+x2+2< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x1x2+x1+x2+1\ge0\\x1+x2+2< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6m^2-10m+5m-5+1\ge0\\5m-5-2< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m\le-\dfrac{1}{2}\\m\ge\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\\m< \dfrac{7}{5}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\in[\dfrac{4}{3};\dfrac{7}{5})\\m\le-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\)\(m\in(-\infty;-\dfrac{1}{2}]\cup[\dfrac{4}{3};\dfrac{7}{5})\cup[2;+\infty)\cup\left\{5\right\}\)

Đặt \(x^2+4x+3=t\left(t\ge-1\right)\)

\(\left(x^2+4x+3\right)\left(x^2+4x+6\right)\ge m,\forall x\in R\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+4x+3\right)^2+3\left(x^2+4x+3\right)\ge m,\forall x\in R\)

\(\Leftrightarrow m\le f\left(t\right)=t^2+3t,\forall x\in R\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi:

\(m\le minf\left(t\right)=-2\)