Áp dụng bất đẳng thức Chevbyshev cho hai bộ đơn điệu cùng chiều \(\left(\dfrac{2}{a+b},\dfrac{2}{b+c},\dfrac{2}{c+a}\right)\) và \(\left(c\left(a+b\right),a\left(b+c\right),b\left(c+a\right)\right)\) ta có \(2c+2a+2b=\dfrac{2}{a+b}.c\left(a+b\right)+\dfrac{2}{b+c}.a\left(b+c\right)+\dfrac{2}{c+a}.b\left(c+a\right)\ge\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{2}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{2}{c+a}\right)\left(a\left(b+c\right)+b\left(c+a\right)+c\left(a+b\right)\right)=\dfrac{2}{3}\left(ab+bc+ca\right)\left(\dfrac{2}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{2}{c+a}\right)\).

Mà \(\dfrac{2}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{2}{c+a}=a+b+c\) nên \(ab+bc+ca\le3\).

\(\frac{a}{b^2+bc+c^2}+\frac{b}{c^2+ca+a^2}+\frac{c}{a^2+ab+b^2}=\frac{a^2}{ab^2+abc+ac^2}+\frac{b^2}{bc^2+abc+ba^2}+\frac{c^2}{ca^2+abc+cb^2}\)     (1)

Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz: \(\left(1\right)\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab^2+ac^2+ba^2+bc^2+ca^2+cb^2+3abc}\)

Lại có: \(ab^2+ac^2+ba^2+bc^2+ca^2+cb^2+3abc=\left(ab+bc+ac\right)\left(a+b+c\right)\)

Thay vào -> dpcm

\(VT=\frac{a^2}{ab^2+abc+ac^2}+\frac{b^2}{c^2b+abc+a^2b}+\frac{c^2}{a^2c+abc+b^2c}\)

Áp dụng BĐT Cauchy dạng phân thức 

\(\Rightarrow VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab\left(a+b\right)+abc+ac\left(a+c\right)+abc+bc\left(b+c\right)+abc}\)

\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab\left(a+b+c\right)+ac\left(a+b+c\right)+bc\left(a+b+c\right)}\)

\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ac\right)}\)

\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{a+b+c}{ab+bc+ac}\left(đpcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

Chúc bạn học tốt !!!

Theo đề ra, ta có:

\(a^2+b^2+c^2\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(=a^3+b^3+c^3+a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2\)

Theo BĐT Cô-si:

\(\left\{{}\begin{matrix}a^3+ab^2\ge2a^2b\\b^3+bc^2\ge2b^2c\\c^3+ca^2\ge2c^2a\end{matrix}\right.\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)

Do vậy \(M\ge14\left(a^2+b^2+c^2\right)+\dfrac{3\left(ab+bc+ac\right)}{a^2+b^2+c^2}\)

Ta đặt \(a^2+b^2+c^2=k\)

Luôn có \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=1\)

Vì thế nên \(k\ge\dfrac{1}{3}\)

Khi đấy:

\(M\ge14k+\dfrac{3\left(1-k\right)}{2k}=\dfrac{k}{2}+\dfrac{27k}{2}+\dfrac{3}{2k}-\dfrac{3}{2}\ge\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}+2\sqrt{\dfrac{27k}{2}.\dfrac{3}{2k}}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{23}{3}\)

\(\Rightarrow Min_M=\dfrac{23}{3}\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\).

Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số a;b;c luôn có hai số cùng phía so với 2, không mất tính tổng quát, giả sử đó là a và b

\(\Rightarrow\left(a-2\right)\left(b-2\right)\ge0\Leftrightarrow ab+4\ge2a+2b\)

\(\Leftrightarrow abc+4c\ge2ac+2bc\)

\(\Rightarrow VT\ge a^2+b^2+c^2+2ac+2bc-4c+4\)

\(VT\ge2ab+c^2-4c+4+2bc+2ac\)

\(VT\ge2\left(ab+bc+ca\right)+\left(c-2\right)^2\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=2\)