Ý bạn là \(18< \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}< 19\) ?

Ta có:

\(A=\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}=\frac{2}{2\sqrt{1}}+\frac{2}{2\sqrt{2}}+...+\frac{2}{2\sqrt{100}}\)

\(\Rightarrow A>\frac{2}{1+\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{2}{\sqrt{100}+\sqrt{101}}\)

\(\Rightarrow A>\frac{2\left(\sqrt{2}-1\right)}{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}+\frac{2\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}+...+\frac{2\left(\sqrt{101}-\sqrt{100}\right)}{\left(\sqrt{101}-\sqrt{100}\right)\left(\sqrt{101}+\sqrt{100}\right)}\)

\(\Rightarrow A>2\left(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-2+...+\sqrt{101}-\sqrt{100}\right)\)

\(\Rightarrow A>2\left(\sqrt{101}-1\right)>2\left(\sqrt{100}-1\right)=18\)

Tương tự:

\(A=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}=1+\frac{2}{2\sqrt{2}}+\frac{2}{2\sqrt{3}}+...+\frac{2}{2\sqrt{100}}\)

\(\Rightarrow A< 1+\frac{2}{1+\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{2}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\)

Nhân liên hợp tử mẫu và rút gọn ta được (giống chứng minh >18 bên trên):

\(A< 1+2\left(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}\right)\)

\(\Rightarrow A< 1+2\left(\sqrt{100}-1\right)=1+18=19\)

\(\Rightarrow18< A< 19\) (đpcm)

giup minh vs

cho a,b,c là 3 số thực thỏa mãn a+b+c= căn a + căn b +căn c=2 chứng minh rằng : căn a/(1+a) + căn b/(1+b) + căn c /( 1+ c ) = 2/ căn (1+a)(1+b)(1+c) Khó quá mọi người oi

Hình như thiếu điều kiện \(a,b,c>0\)

Áp dụng BĐT Cosi:

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\)

\(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{\sqrt{bc}}\)

\(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{2}{\sqrt{ca}}\)

Cộng vế theo vế các BĐT trên ta được: 

\(2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge2\left(\dfrac{1}{\sqrt{ab}}+\dfrac{1}{\sqrt{bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{ca}}\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{1}{\sqrt{ab}}+\dfrac{1}{\sqrt{bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{ca}}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)