Ta có: theo bài ra \(\frac{2n+3}{4n+8}\)= \(\frac{1}{4}\)<=> 4(2n+3) = 4n+8 <=> 8n+12 = 4n+8 <=> 8n-4n = 8-12 <=> 4n = -1 <=> n = -1

         gọi d là ước chung lớn nhất của 2n+3 và 4n+8.

suy ra ((4n+8) - (2n+3)) chia hết cho d

((4n+8) - (2n+3) + (2n+3)) chia hết cho d

(4n-8 - 2n-3 - 2n-3) chia hết cho d

2 chia hết cho d, suy ra d nhận giá trị 1;2. Mà d không thể bằng 2 (do 2n+3 lẻ với mọi số tự nhiên) nên d = 1. Vậy phân số đã cho tối giản.

Gọi d là ƯCLN(12n+1;30n+2)

Ta có: \(12n+1⋮d\Rightarrow5\left(12n+1\right)=60n+5⋮d\)

           \(30n+2⋮d\Rightarrow2\left(30n+2\right)=60n+4⋮d\)

\(\Rightarrow\left(60n+5\right)-60n-4⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d\inƯ\left(1\right)=\left\{1;-1\right\}\)

Mà \(n\in N\Rightarrow d=1\)

Vậy \(\frac{12n+1}{30n+2}\) là phân số tối giản              ĐPCM

Giải:

Gọi d = UCLN ( 12n + 1; 30n + 2 )

Ta có: 

\(12n+1⋮d\)

\(\Rightarrow5\left(12n+1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow60n+5⋮d\)

\(30n+2⋮d\)

\(\Rightarrow2\left(30n+2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow60n+4⋮d\)

\(\Rightarrow\left(60n+5\right)-\left(60n+4\right)⋮d\)

\(\Rightarrow60n+5-60n-4⋮d\)

\(\Rightarrow\left(60n-60n\right)+\left(5-4\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d\in\left\{\pm1\right\}\)

Vì \(d\in N\) nên d = 1

Vì d = UCLN( 12n + 1; 30n + 2 )= 1 \(\Rightarrow\frac{12n+1}{30n+2}\) là phân số tối giản.

\(\Rightarrowđpcm\)

Để chứng minh  12n+1/30n+2 là phân số tối giản thì cần chứng tỏ 12n+1 và 30n+2 nguyên tố cùng nhau

Gọi ƯCLN(12n+1,30n+2)=d             (d∈N)

=> 12n+1 chia hết cho d       => 5(12n+1) chia hết cho d       => 60n+5 chia hết cho d

     30n+2 chia hết cho d       => 2(30n+2) chia hết cho d       => 60n+4 chia hết cho d

=>       (60n+5)-(60n+4) chia hết cho d

=>        1 chia hết cho d

=> d∈Ư(1)={1}

=> d=1

=> ƯCLN(12n+1,30n+2)=1

Vậy 12n+1/30n+2 là phân số tối giản

a, Gọi d là ƯCLN\((12n+1,30n+2)\)\((d\inℕ^∗)\)

Ta có : \(\hept{\begin{cases}12n+1⋮d\\30n+2⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}5(12n+1)⋮d\\2(30n+2)⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}60n+5⋮d\\60n+4⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow(60n+5)-(60n+4)⋮d\)

\(\Rightarrow60n+5-60n-4⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)

Vậy d = 1 để \(\frac{12n+1}{30n+2}\)là phân số  tối giản với mọi số tự nhiên n

Câu b tự làm

\(b)\)\(3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n=\left(3^{n+2}+3^n\right)-\left(2^{n+2}+2^n\right)\)

\(=3^n\cdot\left(3^2+1\right)-2^n\cdot\left(2^2+1\right)\)

\(=3^n\cdot10-2^n\cdot5=3^n\cdot10-2^{n-1}\cdot10\)

\(=\left(3^n-2^{n-1}\right)\cdot10⋮10\left(ĐPCM\right)\)

a) Goi UCLN(12n+1 ; 30n+2) la d 

=> 12n+1 chia het cho d                           =>5(12n+1) chia het cho d                   =>60n+5 chia het cho d

      30n+2 chia het cho d                              2(30n+2) chia het cho d                        60n+4 chia het cho d

=>(60n+5)-(60n+4) chia het cho d

=>   1 chia het cho d 

=>   d = 1

=>12n+1/30n+2 la phan so toi gian ( dpcm)

1. a) Để phân số có giá trị nguyên thì n + 9 phải chia hết cho n - 6 

Ta có: n + 9 chia hết cho n - 6

=> n - 6 + 15 chia hết cho n - 6

=> 15 chia hết cho n - 6.

=> n - 6 thuộc Ư(15) = {1; 3; 5; 15}

=> n thuộc {7; 9; 11; 21}

2. Giả sử \(\frac{12n+1}{30n+2}\)không phải là phân số tối giản 

=> 12n + 1 và 30n + 2 có UCLN là d (d > 1) 
d là ước chung của 12n + 1 và 30n + 2

=> d là ước của 30n + 2 - 2(12n + 1) = 6n 
=> d là ước chung của 12n + 1 và 6n => d là ước của 12n + 1 - 2.6n = 1 
d là ước của 1 mà d > 1 (vô lý) => điều giả sử trên sai => đpcm. 

chứng minh 12n + 1/30n + 2

gọi a là ƯC của 12n + 1 và  30n + 2

=> 12n + 1 chia hết cho a

=> 12n chia hết cho a

     1 chia hết cho a

=> a = 1

vậy 12n + 1 và 30n + 2 là hai số nguyên tố cùng nhau

nên 12n + 1/30n + 2 là phân số tối giản (điều phải chứng minh)

tớ làm câu cuối thôi, 2 câu trên dễ rồi

Xét thừa số thứ 2 ta có:

456.789789-789.456456

=456.1001.789-789.1001.456=0

Vậy tích 1000!(456,789789-789.456456)=0

Để phân số trên nguyên thì n+9 chia hết cho n-6

Mà n-6 chia hết cho n-6

=>(n+9)-(n-6) chia hết cho n-6

=>15 chia hết cho n-6

=> n-6 thuộc {-15;-5;-3;-1;1;3;5;15}

=> n thuộc ....{-9;1;3:5;7;9;11;21)

tớ trả lời câu 1 phần b

ta có A= (x-6) +15/ (x-6)

để A tối giản thì x-6 và 15 nguyên tố cùng nhau 

mặt khác 15=3.5

suy ra x-6 không chia hết cho3 và x-6 không chia hết cho 5 

suy ra x không chia hết cho 3 và x-6 không chia hết cho 5k

suy ra x không chia hết cho 3t và x không chia hết cho 5k+1

(t,k thuộc N) nhớ k cho tớ nhé

goi d=UCLN(n³+2n;n⁴+3n²+1)          (d\(\in\)N^*)

\(\Rightarrow\)n³+2n va n⁴+3n² +1 chia het cho d \(\Rightarrow\)n⁴+3n²+1-n(n³+2n) =n²+1 chia het cho d

n³+2n -n(n²+1)=n chia het cho d\(\Rightarrow\)n² +1-n.n==1 chia het cho d\(\Rightarrow\)d \(\in\)U(1)ma d lon nhat , d\(\in\)N^* nen d=1 

do đó phân số trên là tối giản

giỏi lắm hoàng cảm ơn nhiều