Quy đồng mẫu số ở vế trái:\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}\)

Ta cần chứng minh : \(\frac{a^2+b^2}{ab}\)\(\ge\)2 \(\Leftrightarrow\)\(a^2+b^2\ge2ab\)

Chứng minh bất đẳng thức Cosi(lớp 8) : Ta luôn có : \(\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\)\(a^2-2ab+b^2\ge0\)\(\Rightarrow a^2+b^2\ge0+2ab=2ab\)(1)

Từ (1) suy ra bài toán luôn đúng với mọi a,b hay \(\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2\)hay \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

\(\Rightarrow\)đpcm.

Ta có: \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}\)

\(>\frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{a+b+c+d}+\frac{c}{a+b+c+d}+\frac{d}{a+b+c+d}\)

\(=\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1\)

Tương tự ta cũng chứng minh được \(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{d}{c+d}+\frac{a}{d+a}>1\)

mà \(\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}\right)+\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{d}{c+d}+\frac{a}{d+a}\right)\)

\(=\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+d}{c+d}+\frac{d+a}{d+a}=4\)

\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}\)là số nguyên 

do đó \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}=2\)

\(\Leftrightarrow1-\frac{a}{a+b}-\frac{b}{b+c}+1-\frac{c}{c+d}-\frac{d}{d+a}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{b}{a+b}-\frac{b}{b+c}+\frac{d}{c+d}-\frac{d}{d+a}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{b\left(c-a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\frac{d\left(a-c\right)}{\left(c+d\right)\left(d+a\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow b\left(c+d\right)\left(d+a\right)-d\left(a+b\right)\left(b+c\right)=0\)(vì \(a\ne c\))

\(\Leftrightarrow\left(b-d\right)\left(ac-bd\right)=0\)

\(\Leftrightarrow ac=bd\)(vì \(b\ne d\))

Khi đó \(abcd=ac.ac=\left(ac\right)^2\)là số chính phương. 

Do \(\frac{a}{b}\) là một phân số chưa tối giản nên ta có thể đặt \(\hept{\begin{cases}a=md\\b=nd\end{cases}}\left[d=\left(a;b\right);\left(m;n\right)=1\right]\)

Khi đó ta có:

a) \(\frac{a}{a-b}=\frac{md}{md-nd}=\frac{md}{\left(m-n\right)d}\) chưa là phân số tối giản  (Cả tử vào mẫu vẫn có thể chia cho d để rút gọn)

b) \(\frac{2a}{a-2b}=\frac{2md}{md-2nd}=\frac{2md}{\left(m-2n\right)d}\) chưa là phân số tối giản   (Cả tử vào mẫu vẫn có thể chia cho d để rút gọn)

Đề sai rồi bạn ơi, nếu b = 0 thì phân số a/b đâu có nghĩa.

sửa lại b>0

Ta có    ta có a/b + b/a \(\ge\) 2 (a^2 + b^2 )/ab \(\ge\) 2 a^2 + b^2 \(\ge\) 2ab =>a^2 -2ab + b^2 \(\ge\) 0 =>(a - b)^2 >= 0 luôn đúng suy ra điều phải chứng minh dấu '" = "' xảy ra khi và chỉ khi a = b

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}-2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2-2ab+b^2}{ab}\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)( *Luôn đúng* )

Theo t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có
\(\frac{a}{b}=\frac{a-x}{b-y}=\frac{a-\left(a-x\right)}{b-\left(b-y\right)}=\frac{x}{y}\)

Cảm ơn bạn nhiều

\(\frac{a-x}{b-y}=\frac{a}{b}\)

=>(a-x)*b=a(b-y)

ab-bx=ab-ay

=>bx=ay

=>x/y=a/b