Câu 2/ 

\(\frac{1}{x^2\left(x^2+y^2\right)}+\frac{1}{\left(x^2+y^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)}+\frac{1}{x^2\left(x^2+y^2+z^2\right)}=1\)

Điều kiện \(\hept{\begin{cases}x^2\ne0\\x^2+y^2\ne0\\x^2+y^2+z^2\ne0\end{cases}}\)

Xét \(x^2,y^2,z^2\ge1\)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}x^2\ge1\\x^2+y^2\ge2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow x^2\left(x^2+y^2\right)\ge2\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x^2\left(x^2+y^2\right)}\le\frac{1}{2}\left(1\right)\)

Tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{\left(x^2+y^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)}\le\frac{1}{6}\left(2\right)\\\frac{1}{x^2\left(x^2+y^2+z^2\right)}\le\frac{1}{3}\left(3\right)\end{cases}}\)

Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được

\(\frac{1}{x^2\left(x^2+y^2\right)}+\frac{1}{\left(x^2+y^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)}+\frac{1}{x^2\left(x^2+y^2+z^2\right)}\le\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=1\)

Dấu = xảy ra  khi \(x^2=y^2=z^2=1\)

\(\Rightarrow\left(x,y,z\right)=?\)

Xét \(\hept{\begin{cases}x^2\ge1\\y^2=z^2=0\end{cases}}\) thì ta có

\(\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^4}=1\)

\(\Leftrightarrow x^4=3\left(l\right)\)

Tương tự cho 2 trường hợp còn lại: \(\hept{\begin{cases}x^2,y^2\ge1\\z^2=0\end{cases}}\) và \(\hept{\begin{cases}x^2,z^2\ge1\\y^2=0\end{cases}}\)

Bài 2/

Ta có:  \(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{t}+\frac{t}{x}\ge4\sqrt[4]{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{t}.\frac{t}{x}}=4>3\)

Vậy phương trình không có nghiệm nguyên dương.

Em mới học lớp 5 thôi nên em không biết cái gì 

~~~ Chúc chị học giỏi ~~~

\(\left(x+y\right)^2+3x+y+1=z^2\)với x,y,z nguyên dương \(\Rightarrow z^2>\left(x+y\right)^2\)

\(\left(x+y\right)^2+3x+y+1=\left(x+y+2\right)^2-x-3y-3=z^2\)với x,y,z nguyên dương \(\Rightarrow z^2< \left(x+y+2\right)^2\)

Vậy \(z^2\)là số chính phương ở giữa 2 số chính phương khác là \(\left(x+y\right)^2\)và \(\left(x+y+2\right)^2\)

\(\Rightarrow z^2=\left(x+y+1\right)^2\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+y=1-z\left(1\right)\\x+y=z-1\left(2\right)\end{cases}}\)

Xét (1): \(x+y=1-z>0\Rightarrow z< 1\Leftrightarrow z=0\)Vì 0 không là số nguyên dương nên (1) vô nghiệm.

Xét (2): \(x+y=z-1\)lúc này pt có vô số nghiệm nguyên dương (x;y;z), x>0, y>0, z>1

Khai triển tung hết đẳng thức đã cho ra rồi thu gọn ta được

\(2y^3+x^2y^2+xy+3x^2y-3xy^2=0\left(1\right)\)

Vì y khác 0 nên chia cả 2 vế của (1) cho y ta đc

\(2y^2+x^2y+x+3x^2-3xy=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(3+y\right)-x\left(3y-1\right)+2y^2=0\left(2\right)\)

Vì y nguyên dương => y + 3 > 0 nên pt (2) là pt bậc 2 ẩn x

Ta có \(\Delta=-8y^3-15y^2-6y+1\)

Để pt có nghiệm thì \(\Delta\ge0\Leftrightarrow y\le\frac{1}{8}\)

mà y nguyên dương => y thuộc rỗng

=> Pt đã cho ko có nghiệm nguyên dương

đặt x+y=a

xy=b

ntc a-2

chụp cho tớ 20 bài bđt đi chi