a) Xét ΔABD vuông tại A và ΔABC vuông tại A có 

BA chung

AD=AC(gt)

Do đó: ΔABD=ΔABC(hai cạnh góc vuông)

Suy ra: BD=BC(hai cạnh tương ứng)

hay B cách đều hai đầu đoạn thẳng CD(Đpcm)

b) Ta có: ΔABD=ΔABC(cmt)

nên \(\widehat{DBA}=\widehat{CBA}\)(hai góc tương ứng)

hay \(\widehat{HBA}=\widehat{KBA}\)

Xét ΔBHA vuông tại H và ΔBKA vuông tại K có 

AB chung

\(\widehat{HBA}=\widehat{KBA}\)(cmt)

Do đó: ΔBHA=ΔBKA(cạnh huyền-góc nhọn)

Suy ra: BH=BK(hai cạnh tương ứng)

Xét ΔBHK có BH=BK(cmt)

nên ΔBHK cân tại B(Định nghĩa tam giác cân)

c) Ta có: BH=BK(cmt)

nên B nằm trên đường trung trực của HK(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có: AH=AK(ΔAHB=ΔAKB)

nên A nằm trên đường trung trực của HK(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)

Ta có: BD=BC(cmt)

nên B nằm trên đường trung trực của DC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(3)

Ta có: AD=AC(gt)

nên A nằm trên đường trung trực của DC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(4)

Từ (1) và (2) suy ra BA là đường trung trực của HK

hay BA\(\perp\)HK(5)

Từ (3) và (4) suy ra BA là đường trung trực của DC

hay BA\(\perp\)DC(6)

Từ (5) và (6) suy ra HK//DC(Đpcm)

a) Ta có AH = AD và AB \(\perp\)DH nên AB là đường trung trực của đoạn thẳng DH

=> BD = BH => \(\Delta\)DBH cân

Vậy  \(\Delta\)DBH cân (đpcm)

b) D là trung điểm của AC nên AD = \(\frac{1}{2}\)AC

=> AC = 2AD = 2AB = 2.5 = 10 (cm) => AB = 5 (cm)

\(\Delta\)ABC vuông tại A nên AB² + AC² = BC² (theo định lý Pythagoras)

Thay số: 5² + 10² = BC² => BC² =125 => BC = \(\sqrt{125}\)

Vậy BC = \(5\sqrt{5}\)cm

c) Cung tròn tâm D có bán kính bằng BC nên BC = DE ( DE là bán kính của đường tròn tâm D)

Từ giả thiết suy ra CD = DA = AH => AC = DH

Xét \(\Delta\)ABC và \(\Delta\)HED có:

     AC = HD (cmt)

    BC = ED (cmt)

Do đó  \(\Delta\)ABC = \(\Delta\)HED ( 2cgv)

=> AB = HE (hai cạnh tương ứng)

Mà AB = AD (cùng bằng nửa AC)

=> AD = HE (đpcm)

d) Dễ thấy \(\Delta\)ABD và \(\Delta\)ABH vuông cân nên ^DBA = ^ABH = 45⁰

=> ^DBH = 90⁰

Dễ chứng minh: ^EHB = ^CDB = 135⁰

Xét \(\Delta\)CDB và \(\Delta\)EHB có:

   CD = HE (cùng bằng AD)

   ^EHB = ^CDB (cmt)

   BD = BH (câu a)

Do đó ​\(\Delta\)​CDB = \(\Delta\)EHB (c.g.c)

=> BC = BE (hai cạnh tương ứng) (1)

và ^EBH = ^CBD

=> ^DBH = ^DBE + ^EBH = ^DBE + ^CBD = ^EBC = 90⁰ (2)

Từ (1) và (2) suy ra BEC vuông cân tại B (đpcm)

a) câu a sửa lại đề nhé

tam giác ABD = tam giác CBE