Thọ tested! h heeeee

\(\sqrt{2222}\)

\(\dfrac{1}{22}\)

Giải :

a) Xét (O) có PM // AB

⇒ 2 cung AP và BM bị chắn bởi 2 dây trên sẽ bằng nhau. 

mà BM = BN ( △ BMN cân tại B vì có BE vừa là đ/c, đường trung tuyến △)

⇒ cung BM = cung BN

⇒ cung AP = cung BN

b) Xét (O) có OI đi qua điểm chính giữa của PM (gt)

⇒ OI vuông góc với dây PM tại K

⇒góc OKM = 90 độ.

Xét tứ giác OKME có 3 góc vuông : góc OKM = 90 độ (cmt),

góc MEO = 90 độ ( MN vuông góc với OB tại E

 góc EMK = 90 độ ( vì PM//AB, AB vuông góc với MN ⇒ PM vuông góc với MN tại M )

⇒ OKME là hcn

c) Ta có : góc OPI = góc NOE  ( vì 2 góc đông vị, MP//AB)

mà góc OPI + góc POI = 90 độ ( △POK vuông tại K )

⇒góc NOE + góc POI = 90 độ

⇒ góc NOE + góc POI + góc IOE = 90 + 90 = 180 độ

⇒ P,O,N thẳng hàng

- Xét △ PMN có KE đường TB ( K trđ PM, E trđ MN )

⇒ KE//PN

a)  CÓ PM //AB 

=> CUNG AP= CUNG MB ( TÍNH CHẤT) (1)

MÀ CM ĐƯỢC B LÀ ĐIỂM CHÍNH GIỮA CUNG MN => CUNG MB=CUNG NB (2)

TỪ (1) (2) => CUNG AP= CUNG NB 

b)  CM ĐƯỢC KME=90 ĐỘ ( VÌ PM //AB MÀ AB VUÔNG GÓC MN )

VÌ I LÀ ĐIỂM CHÍNH GIỮA CUNG PM => OI VUÔNG GÓC PM TẠI K => OKM = 90 ĐỘ 

TỨ GIÁC OKME CÓ OKM=KME=MEO=90 ĐỘ => TỨ GIÁC OKME LÀ HÌNH CHỮ NHẬT 

c) CHỨNG MINH ĐƯỢC KE LÀ ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC PMN => KE // PN 

MẶT KHÁC CÓ OK=ME=NE MÀ NE//OK (CÙNG VUÔNG GÓC AB )

=> TỨ GIÁC OKNE LÀ HÌNH BÌNH HÀNH => KE//ON 

CÓ KE//ON MÀ KE//PN NÊN PN TRÙNG ON => O, P, N THẲNG HÀNG 

a: C là điểm chính giữa của cung AB

=>OC vuông góc AB

góc OHE=góc OME=90 độ

=>OHME nội tiếp

b: góc AMB=1/2*sđ cung AB=90 độ

=>góc AMH+góc AOH=180 độ

=>OHMA nội tiếp

=>O,H,M,E,A cùng thuộc 1 đường tròn

=>góc EAO=90 độ

OHEA có 3 góc vuông

=>OHEA là hcn

=>EH=OA=R

A, B, I nhìn MO cố định dưới một góc bằng 90° nên A, B, I nằm trên đường tròn bán kính MO.

B và C cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ chứa đường HI tạo với HI một góc bằng nhau nên tứ giác BCHI nội tiếp.

Ta có:

- Vì ON = OP < R/2, nên N và P nằm trong đường tròn tâm O, nên A, C, B, D đều nằm trên đường tròn (O).

- Vì AC // BD, nên theo định lí của dây cung, ta có: AM = MC và BM = MD.

- Ta có: ∠BAC = ∠BMC (do ABMC là hình bình hành) và ∠ACB = ∠AMB (do ABMC là hình bình hành).

- Vậy tứ giác ABMC là tứ giác cùng tứ giác nội tiếp, nên ta có: ∠BMC + ∠AMB = 180°.

- Từ đó, ta có: ∠BAC + ∠ACB = 180°.

- Vậy tứ giác ABCD là tứ giác điều hòa.

- Gọi K' là giao điểm của BD và AO. Ta cần chứng minh K', Q, A đồng quy.

- Ta có: ∠QAC = ∠QDC (do AC // BD) và ∠QCA = ∠QCB (do ABMC là hình bình hành).

- Vậy tứ giác AQCD là tứ giác cùng tứ giác nội tiếp, nên ta có: ∠QDC + ∠QCA = 180°.

- Từ đó, ta có: ∠QAC + ∠QCA = 180°.

- Vậy tứ giác AQCK' là tứ giác điều hòa.

- Vậy K', Q, A đồng quy. - Vậy KQ, BD, AO đồng quy.\

Xin tick!!