Chứng minh \(a^3+b^3≥ \frac{1}{4}(a+b)^3\) với mọi a b. Biết a và b > 0
Chứng minh \(a^3+b^3 ≥ \frac{1}{4}(a+b)^3\))3 với mọi a,b. Biết a và b > 0
Xét hiệu \(\left(a^3+b^3\right)-\frac{1}{4}\left(a+b\right)^3\) ta có:
\(\left(a^3+b^3\right)-\frac{1}{4}\left(a+b\right)^3=\frac{1}{4}\left[4\left(a^3+b^3\right)-\left(a+b\right)^3\right]\)
\(=\frac{1}{4}\left[4a^3+4b^3-\left(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\right)\right]\)\(=\frac{1}{4}\left(4a^3+4b^3-a^3-3a^2b-3ab^2-b^3\right)\)
\(=\frac{1}{4}\left(3a^3+3b^3-3a^2b-3ab^2\right)\)\(=\frac{3}{4}\left(a^3+b^3-a^2b-ab^2\right)\)
\(=\frac{3}{4}\left[\left(a^3-a^2b\right)+\left(b^3-ab^2\right)\right]\)\(=\frac{3}{4}\left[a^2\left(a-b\right)+b^2\left(b-a\right)\right]\)
\(=\frac{3}{4}\left[a^2\left(a-b\right)-b^2\left(a-b\right)\right]\)\(=\frac{3}{4}\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\)\(=\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\)
Vì a và b > 0 \(\Rightarrow a+b>0\)
mà \(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\)và \(\frac{3}{4}>0\)
\(\Rightarrow\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)
hay \(\left(a^3+b^3\right)-\frac{1}{4}\left(a+b\right)^3\ge0\)\(\Rightarrow a^3+b^3\ge\frac{1}{4}\left(a+b\right)^3\)
1, cho a,b,c>0. chứng minh \(a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)
2, chứng minh: với mọi a,b \(\ne0\)\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}\ge\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\)
3,cho các số thực \(\in\)đoạn 0 đến 1. chứng minh:\(a^4+a^3+c^2-ab-bc-ca\le1\)
4,cho a,b,c là các số thực dương tùy ý. chứng minh: \(\frac{a^3+b^3}{ab}+\frac{b^3+c^3}{bc}+\frac{c^3+a^3}{ca}\ge2\left(a+b+c\right)\)
5,cho a,b,c>0. chứng minh\(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)\)
ai làm đk bài nào thì làm hộ e vs ạ
Lần sau đăng ít 1 thôi đăng nhiều ngại làm, bn đăng nhiều nên tui hướng dẫn sơ qua thôi tự làm đầy đủ vào vở
Bài 1:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^4+b^4\ge2a^2b^2;b^4+c^4\ge2b^2c^2;c^4+a^4\ge2c^2a^2\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên rồi thu gọn
\(a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)
Áp dụng tiếp BĐT AM-GM
\(a^2b^2+b^2c^2=b^2\left(a^2+c^2\right)\ge2b^2ac\)
Tương tự rồi cộng theo vế có ĐPCM
Bài 2:
Quy đồng BĐT trên ta có:
\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2b^2}\ge0\) (luôn đúng)
Bài 4: Áp dụng BĐT AM-GM
\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)
\(\ge\left(a+b\right)\left(2ab-ab\right)=ab\left(a+b\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^3+b^3}{ab}\ge\frac{ab\left(a+b\right)}{ab}=a+b\)
Tương tự rồi cộng theo vế
Bài 5: sai đề tự nhien có dấu - :v nghĩ là +
ai k mình k lại [ chỉ 3 người đầu tiên mà trên 10 điểm hỏi đáp ]
1, Cho x+y=2 Chứng minh x4+y4\(\ge2\)
2,Với mọi a,b Chứng minh a4+ b4\(\ge a^3b+ab^3\)
3, Cho a>0 , b>0. Chứng minh \(\frac{a}{\sqrt{b}}-\sqrt{a}\ge\sqrt{b}-\frac{b}{\sqrt{a}}\)
4, Chứng minh: x4+y4\(\le\frac{x^6}{y^2}+\frac{y^6}{x^2}\)với xva2 y khác 0.
Bài 2:
\(a^4+b^4\ge a^3b+b^3a\)
\(\Leftrightarrow a^4-a^3b+b^4-b^3a\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
ta thấy : \(\orbr{\orbr{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\\\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\end{cases}}}\Leftrightarrow dpcm\)
Dấu " = " xảy ra khi a = b
tk nka !!!! mk cố giải mấy bài nữa !11
1/Thêm 6 vào 2 vế,ta cần c/m:
\(\left(x^4+1+1+1\right)+\left(y^4+1+1+1\right)\ge8\)
Thật vậy,áp dụng BĐT AM-GM cho cái biểu thức trong ngoặc,ta được:
\(VT\ge4\left(x+y\right)=4.2=8\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = 1 (loại x = y = -1 vì không thỏa mãn x + y = 2)
Chứng minh rằng với mọi a,b >0 ta có :\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{3}{2a+b}+\frac{3}{a+2b}\)
TKS!!!
1) Chứng minh rằng với mọi \(a,b,c\) và với mọi \(\alpha,\beta,\gamma>0\) luôn có
\(\frac{a^2}{\alpha}+\frac{b^2}{\beta}+\frac{c^2}{\gamma}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\alpha+\beta+\gamma}\).
2) Chứng minh rằng với mọi \(a,b,c>0\)luôn có
\(\frac{a+1}{b+2c+3}+\frac{b+1}{c+2a+3}+\frac{c+1}{a+2b+3}\ge1\).
1) Trước hết ta sẽ chứng minh BĐT với 2 số
Với x,y,z,t > 0 ta luôn có: \(\frac{x^2}{y}+\frac{z^2}{t}\ge\frac{\left(x+z\right)^2}{y+t}\)
BĐT cần chứng minh tương đương:
\(BĐT\Leftrightarrow\frac{x^2t+z^2y}{yt}\ge\frac{\left(x+z\right)^2}{y+t}\Leftrightarrow\left(x^2t+z^2y\right)\left(y+t\right)\ge yt\left(x+z\right)^2\)
(Biến đổi tương đương)
Khi bất đẳng thức trên đúng ta sẽ CM như sau:
\(\frac{a^2}{\alpha}+\frac{b^2}{\beta}+\frac{c^2}{\gamma}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{\alpha+\beta}+\frac{c^2}{\gamma}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\alpha+\beta+\gamma}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\frac{a}{\alpha}=\frac{b}{\beta}=\frac{c}{\gamma}\)
Chứng minh
a) ( a - b )^2 = ( a + b ) - 4ab. Tính ( a - b )^2009 biết a + b = -3 và ab = 4
b) a^3 + b^3 = ( a + b )^3 - 3ab(a + b ). Tính a^3 + b^3 = biết ab = 5 và a + b = -8
c) a^3 - b^3 = ( a - b )^3 + 3ab( a -b ). Tính a^3 - b^3 biết ab = -4 và a - b = 6
d) x^2 - 2xy + y^2 + 1 > 0 với mọi x và y
e) Tính x + y biết x^3 + y^3 = 91 và x^2 - xy + y^2 = 13
Với mọi a,b>0 và a2+b2=4 hãy chứng minh: \(\frac{a+b}{\sqrt{a^2+4}}\le\sqrt{\frac{3}{2}}\)
tớ viết lộn chỗ kia \(\left(\sqrt{2}.a.\frac{1}{\sqrt{2}}+b.1\right)^2\) thêm b.1 vô nka triều :D
Cậu ta lúc nào cũng câu hỏi tương tự
ta có :\(\left(a+b\right)^2=\left(\sqrt{2}.a.\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2\le\left(2a^2+b^2\right)\left(\frac{1}{2}+1\right)\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\le\left(a^2+4\right)\left(\frac{3}{2}\right)\Rightarrow\frac{a+b}{a^2+4}\le\sqrt{\frac{3}{2}}\)
éo le :3
Bài 1: cho tỷ lệ thức a/b=c/d khác 1 và -1 và c khác 0. Hãy chứng minh:
A) \(\left(\frac{a-b}{c-d}\right)^2=\frac{ab}{cd}\)
B) \(\left(\frac{a+b}{c+d}\right)^3=\frac{a^3-b^3}{c^3-d^3}\)
Bài 2: cho biết a=c+b và c=bd/b-d(b khác d khác 0). Hãy chứng minh a/b=c/d.
Bài 3:Hãy chứng minh c =0 khi \(\frac{a+b+c}{a+b-c}=\frac{a+b+c}{a-b-c}\) với b khác 0
Cho hai số nguyên a và b, biết \(\frac{a}{3}+\frac{b}{4}=\frac{a+b}{7}\)
Chứng minh a = 0 và b = 0
A, biết làm rồi, xin lỗi mọi người.