Tam giác ABC nhọn: BC=a; AC=b;AB=c. Chứng minh: \(\sin\frac{A}{2}\le\frac{a}{2\sqrt{bc}}\)

Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, AB = c, BC = c, CA = b. Ta luôn có:

\(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{2R}}\)  với x, y, z là khonagr cách từ điểm M bất kì nằm bên trong tam giác ABC đến ba cạnh BC, CA, AB theo thứ tự.

cho tam giác ABC, với AB=c, BC=a, AC=b, chứng minh rằng 

\(\frac{a\left(b+c\right)\sqrt{bc\left(1-\frac{a^2}{b+c}\right)}+b\left(a+c\right)\sqrt{ac\left(1-\frac{b^2}{a+c}\right)}+c\left(a+b\right)\sqrt{ab\left(1-\frac{c^2}{a+b}\right)}}{a+b+c}\)

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) \(S_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2}\sqrt{AB^2.AC^2-\left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\right)^2}\)

b) \(b+c=2a\Leftrightarrow\dfrac{2}{h_a}=\dfrac{1}{h_b}+\dfrac{1}{h_c}\)

c) Góc A vuông \(\Leftrightarrow m_b^2+m_c^2=5m_a^2\)

2) cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là  a;b;c nội tiếp đường tròn tâm R .gọi x;y;z là khoảng cách từ điểm M thuộc miền trong của tam giác ABC đến các cạnh AB;AC;BC . Chứng minh \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{2R}}\)

Cho tam giác ABC có BC=a; AC=b;AB=c. Chứng minh:

\(a^2+b^2+c^2\ge4\sqrt{3}S\)

Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c. Chứng minh rằng :

a) Nếu góc A = 30 độ thì a^2 = b^2 + c^2 - bc\(\sqrt{3}\)

b) Nếu góc A = 60 độ thì a^2 = b^2 + c^2 - bc

cho ΔABC có AB=1cm,AC=2cm và BC=\(\sqrt{3}\)

chứng minh rằng: 1)ΔABC vuông tại B

2)góc A=2*góc C