\(P=\frac{\sqrt{1+x^2+y^2}}{xy}+\frac{\sqrt{1+y^2+z^2}}{yz}+\frac{\sqrt{1+z^2+x^2}}{zx}\)

\(\ge\text{Σ}\frac{\sqrt{\frac{\left(1+x+y\right)^2}{3}}}{xy}\text{=}\frac{1+x+y}{xy\sqrt{3}}\)

\(=\frac{\sqrt{3}}{3}\left(\frac{1+x+y}{xy}+\frac{1+y+z}{yz}+\frac{1+z+x}{zx}\right)\)

\(=\frac{\sqrt{3}}{3}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)\)

\(=\frac{\sqrt{3}}{3}\left(x+y+z+2xy+2yz+2zx\right)\)\(\ge\frac{\sqrt{3}}{3}\left(3\sqrt[3]{xyz}+2\cdot3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}\left(3+6\right)=3\sqrt{3}\)

Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=1\)

mk hơi vội nên sai 1 số lỗi nhỏ bn tự sửa nhé

\(A=\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\)

Áp dụng Bđt MIncopxki ta có:

\(A\ge\sqrt{\left(x+y+\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}\)

\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}}\)

\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{1}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{80}{\left(x+y+z\right)^2}}\)

\(\ge\sqrt{2+80}=\sqrt{82}\)

Dấu = khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

vì sao từ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\) mà ra được \(\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}\)

bạn vào trang này nhé có bài như thến này đấy 

//123doc.org//document/3173507-ren-luyen-chuyen-de-tim-maxmin-on-thi-thpt-quoc-gia.htm

tính diện tích hình vẽ dưới đây

Ta có \(\frac{y}{x\sqrt{y^2+1}}=\frac{y\sqrt{xz}}{x\sqrt{y\left(x+y+z\right)+xz}}=\frac{yz}{\sqrt{x\left(y+z\right).z\left(x+y\right)}}\ge\frac{2yz}{2xz+xy+yz}\)

Đặt \(a=xy,b=yz,c=xz\)=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)

Khi đó

\(P\ge\frac{2b}{2c+a+b}+\frac{2c}{2a+b+c}+\frac{2a}{2b+a+c}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{b^2+c^2+a^2+3\left(ab+bc+ac\right)}\)

Xét \(P\ge\frac{3}{2}\)

=> \(4\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)+9\left(ab+bc+ac\right)\)

<=> \(a^2+b^2+c^2\ge\left(ab+bc+ac\right)\)(luôn đúng )

Vậy \(MinP=\frac{3}{2}\)khi a=b=c=3=> \(x=y=z=\sqrt{3}\)

Câu hỏi của Trần Thành Phát Nguyễn - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

\(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}=\sqrt{\frac{9}{10}}\cdot\sqrt{\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left(\frac{1}{9}+1\right)}\ge\sqrt{\frac{9}{10}}\cdot\left(\frac{x}{3}+\frac{1}{x}\right)\)

Tương tự:\(\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}\ge\sqrt{\frac{9}{10}}\left(\frac{y}{3}+\frac{1}{y}\right);\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge\sqrt{\frac{9}{10}}\left(\frac{z}{3}+\frac{1}{z}\right)\)

Cộng lại ta có:

\(LHS\ge\sqrt{\frac{9}{10}}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{x+y+z}{3}\right)\ge\sqrt{\frac{9}{10}}\left(\frac{9}{x+y+z}+\frac{x+y+z}{3}\right)\)

\(=\sqrt{\frac{9}{10}}\cdot\left(\frac{x+y+z}{3}+\frac{1}{3\left(x+y+z\right)}+\frac{26}{3\left(x+y+z\right)}\right)\)

ai đó giúp em đoạn này với.Em cô si xong thấy không đúng ạ :(

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức sau : với các số dương a,b,c,d , ta có : 

\(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge\sqrt{\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2}\) (*)

\(< =>a^2+b^2+c^2+d^2+2.\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{c^2+d^2}\ge a^2+b^2+c^2+d^2+2ac+2bd\)

\(< =>2.\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\ge2\left(ac+bd\right)\)\(< =>\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\ge ac+bd\)

\(< =>a^2c^2+b^2c^2+a^2d^2+b^2d^2\ge a^2c^2+b^2d^2+2abcd\)

\(< =>VT-VP=\left(ad-bc\right)^2\ge0\left(đpcm\right)\)

Sử dụng liên tiếp bất đẳng thức (*) , ta có : \(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge\sqrt{\left(x+y\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)}^2+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\)

\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\)(+)

Tiếp tuc ta sẽ chứng minh bất đẳng thức sau : với các số dương a,b,c  :

\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)(**)

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM : \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc};\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)

Nhân theo vế \(< =>\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=9\left(đpcm\right)\)

Ta có bất đẳng thức (**) đúng nên suy ra được \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)(***)

Bất đẳng thức (***) tương đương với \(\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2\ge\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}\)

Mà theo đánh giá của AM-GM thì \(\left(x+y+z\right)^2+\frac{1}{\left(x+y+z\right)^2}\ge2\sqrt{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}}=2\)(****)

Vfa theo giả thiết \(x+y+z\le1< =>\frac{1}{x+y+z}\ge1< =>\frac{80}{\left(x+y+z\right)^2}\ge80\)(*****)

Cộng theo vế hai bất đẳng thức (****) và (*****) ta được : \(\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}\ge2+80=82\) 

Khi đó \(\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2\ge\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}\ge82\)(++)

Từ (+) và (++) ta suy ra được : \(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\ge\sqrt{82}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Vậy bài toán đã được hoàn tất chứng minh ! 

SEIFWJNHGRHFQ24FTW