Ta có :

\(2^5=32\overline{=}1\left(mod31\right)\)

\(\Rightarrow\left(2^5\right)^{402}\overline{=}1\left(mod31\right)\)

\(\Rightarrow2^{2010}\overline{=}1\left(mod31\right)\)

\(\Rightarrow2^{2011}\overline{=}2\left(mod31\right)\)

Vậy \(2^{2011}\) chia 31 dư 2

Ta có:

      2⁰ chia 31 dư 1                                                                                                                                                                       2^{1 chia} 31 dư 2                                                                                                                                                                        2² chia 31 dư 4                                                                                                                                                                        2³ chia 31 dư 8                                                                                                                                                                       2⁴ chia 31 dư 16                                                                                                                                                                      2⁵ chia 31 dư 1                                                                                                                                                                       2⁶ chia 31 dư 2                                                                                                                                                                         ...............                                                                                                                                                                          Như vậy ,cứ đến số mũ chia hết cho 4 thì số dư lại lặp lại (1,2,4,8,16)  ₍₁₎                                                                                       Ta có :2011:4= 502(Dư 3)₍₂₎                                                                                                                                                                                                    Từ(1) và(2)=>2²⁰¹¹:31 dư 4

Đầu buồi quấn rẻ

Ta có :2³³=8 (mode 31)

(2³³)¹¹=2³⁶³=8(mode 31)

(2³⁶³)⁵=2¹⁸¹⁵ =1(mode 31)

(2³³)⁶=2¹⁹⁸=8(mode 31)

2¹⁸¹⁵.2¹⁹⁸:2²=2²⁰¹¹=1.8:4=2(mode 31)

Vậy số dư là 2

b, a+1 và b+2007 chia hết cho 6

=> a+1 và b+2007 đều chẵn

=> a và b đều lẻ 

=> a+b chẵn

Mà a là số nguyên dương nên 4^a chẵn

=> 4^a+a+b chẵn

=> 4^a+a+b chia hết cho 2 (1)

Lại có : a+1 và b+2007 chia hết cho 3

=> a chia 3 dư 2 và b chia hết cho 3

=> a+b chia 3 dư 2

Mặt khác : 4^a = (3+1)^a = B(3)+1 chia 3 dư 1

=> 4^a+a+b chia hết cho 3 (2)

Từ (1) và (2) => 4^a+a+b chia hết cho 6 ( vì 2 và 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau )

Tk mk nha

Vì chưa thấy ai giải câu a nên thầy sẽ giải hộ nhé

Ta có \(32\equiv1\left(mod31\right)\Rightarrow32^{402}\equiv1^{402}=1\left(mod31\right)\)(Theo thuyết đồng dư)

nên \(32^{402}=2^{2010} \)chia 31 dư 1 suy ra \(2^{2011}\)chia 31 dư 2

Phần còn lại em tự làm nhé

1.Gọi số tự nhiên cần tìm là A

Chia cho số 29 dư 5 nghĩa là: A = 29p + 5 (p thuộc N)

Tương tự: Chia cho số 31 dư 28 nghĩa là: 31q + 28 (q thuộc N)

Nên 29p + 5 = 31q + 28 => 29 (p - q) = 2q + 23

Ta thấy : 2q + 23 là số lẻ => 29 (p - q) cũng là số lẻ => p - q = 1

Theo giả thiết A nhỏ nhất nên => q nhỏ nhất (A = 31q + 28)

                                                   => 2q = 29(p - q) - 23 nhỏ nhất

                                                   => p- q nhỏ nhất

Do đó p - q = 1 => 2q = 29 -23 = 6

                            => q = 3

Vậy số cần tìm A là : 31q + 28 = 31 x 3 + 28 = 121

2. Số đó phải lớn hơn 10. Ta có:

129 : x = b =>x.b + 10 = 129 (b là thương) => x = (129 - 10) : b = 129 : b

61 : x = c dư 10 => x.c + 10 = 61 (c là thương) => x = 51 : c

x = 119 : b = 51 : c

119 chỉ chia hết cho 7 và 17 (ngoài 1 và 119) : 119 : 17 = 7

51 chỉ chia hết cho 3 và 17 (ngoài 1 và 51) : 51 : 3 = 17

Mà số đó lớn hơn 10 nên x = 17

Vậy x = 17