Rút gọn các biểu thức sau:
a) \(A=\left[\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{2}{a+b}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\right].\frac{ab}{\left(a+b\right)^2}\)
b) \(B=\left[\frac{1}{\left(2x-y\right)^2}+\frac{2}{4x^2-y^2}+\frac{1}{\left(2x+y\right)^2}\right].\frac{4x^2+4xy+y^2}{16x}\)
Lời giải:
a) ĐK: $a\neq -b\neq 0$
\(A=\left(\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}+\frac{2}{a+b}.\frac{a+b}{ab}\right).\frac{ab}{(a+b)^2}\)
\(=\left(\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}+\frac{2ab}{a^2b^2}\right).\frac{ab}{(a+b)^2}=\frac{(a+b)^2}{a^2b^2}.\frac{ab}{(a+b)^2}=\frac{1}{ab}\)
b)
\(B=\left[\frac{(2x+y)^2}{(2x-y)^2(2x+y)^2}+\frac{(2x-y)^2}{(2x-y)^2(2x+y)^2}+\frac{2}{(2x-y)(2x+y)}\right].\frac{(2x+y)^2}{16x}\)
\(=\left[\frac{8x^2+2y^2}{(2x-y)^2(2x+y)^2}+\frac{2(2x-y)(2x+y)}{(2x-y)^2(2x+y)^2}\right].\frac{(2x+y)^2}{16x}\)
\(=\frac{8x^2+2y^2+2(4x^2-y^2)}{(2x-y)^2(2x+y)^2}.\frac{(2x+y)^2}{16x}\)
\(=\frac{16x^2}{(2x-y)^2(2x+y)^2}.\frac{(2x+y)^2}{16x}=\frac{x}{(2x-y)^2}\)
1)\(\frac{1}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{1}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}+\frac{1}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\)
2)\(\frac{a^2}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{b^2}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}\frac{c^2}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\)
3)\(\frac{1}{x^2+3x+2}+\frac{2x}{x^3+4x^2+4x}+\frac{1}{x^2+5x+6}\)
Bài 6: Rút gọn biểu thức:
\(A=\frac{a^3-3a+\left(a^2-1\right)\sqrt{a^2-4}-2}{a^3-3a+\left(a^2-1\right)\sqrt{a^2-4}+2}\left(a>2\right)\)
\(B=\sqrt{\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+\sqrt{\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{\left(a^2+b^2\right)^2}}}\left(ab\ne0\right)\)
Rút gọn biểu thức:
\(a,\left(\frac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right)\left(\frac{1-\sqrt{a}}{1-a}\right)^2\)
\(b,\frac{2}{\sqrt{ab}}:\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{b}}\right)^2-\frac{a+b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}\)
Rút gọn biểu thức
1)\(\frac{c\left(a+c\right)-a\left(a-c\right)}{\frac{c}{a-c}-\frac{a}{a+ c}}\)
2) \(\frac{\frac{x^2-y^2}{x}}{\frac{1}{x}-\frac{1}{y}}\)
3) \(x:\frac{x-1}{2}-\frac{\left(x-1\right)\left(x^2+4x+1\right)}{2x^2+2x}.\frac{-4x}{\left(x-1\right)^2}-\frac{4x^2}{x^2-1}\)
Đơn giản biểu thức \(\frac{1}{\left(a+b\right)^3}\left(\frac{1}{a^4}-\frac{1}{b^4}\right)+\frac{2}{\left(a+b\right)^4}\left(\frac{1}{a^3}-\frac{1}{b^3}\right)+\frac{2}{\left(a+b\right)^5}\left(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}\right)\)
1/ Rút gọn biểu thức:\(G=\left(\frac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}\right)\div\frac{\sqrt{x}+1}{x}\)
2/ Cho biểu thức: \(M=x-\frac{2x-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{x\sqrt{x}+1}{x-\sqrt{x}+1}+1\)
a. Tìm ĐKXĐ
b. Rút gọn M
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của M
3/ Chứng minh: \(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}}=|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a+b}|\)với \(a\ne0,b\ne0,a+b\ne0\)
4/ Biết a,b,c là số dương và ab + bc + ac =1. Hãy tính tổng:
\(M=a\sqrt{\frac{\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)}{1+a^2}}+b\sqrt{\frac{\left(1+a^2\right)\left(1+c^2\right)}{1+b^2}}+c\sqrt{\frac{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}{1+c^2}}\)
Ai giải giúp mình bài 1 với bài 4 trước đi
Đơn giản biểu thức E = \(\frac{1}{\left(a+b\right)^3}.\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}\right)+\frac{1}{\left(a+b\right)^4}.\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)+\frac{1}{\left(a+b\right)^5}.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
Rút gọn: \(\left(\frac{x-y}{y}+\frac{4x}{x+y}\right)\left(1+\frac{y+1}{x}+\frac{y}{^{x^2}}\right)\left(\frac{x^2+y^2}{2x^2y}\right)^{-1}\) biết CT: \(x^{-1}=\frac{1}{x}\)hoặc \(\left(\frac{A}{B}\right)^{-1}=\frac{B}{A}\)
