em không biết

gà quá

Từ giả thiết \(x+y+z=xyz=\frac{1}{xy}\)\(=\frac{1}{yz}\)\(=\frac{1}{zx}\)\(=1\)

Đặt \(\frac{1}{x}\)\(=a,\frac{1}{y}\)\(=b,\frac{1}{z}\)\(=c=ab+bc+ca=1\)

Ta có :

\(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}\)\(=\sqrt{\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+}+\sqrt{\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\sqrt{\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}}}\)

\(=\sqrt{\frac{1}{x}+x}+\sqrt{\frac{1}{y}+y}+\sqrt{\frac{1}{z}+z}=\sqrt{\frac{a}{a+\frac{1}{a}}}+\sqrt{\frac{b}{b+\frac{1}{b}}}\)\(+\sqrt{\frac{c}{c+\frac{1}{c}}}\)

\(=\frac{a}{\sqrt{a^2}+1}\)\(+\frac{b}{\sqrt{b^2}+1}\)\(+\frac{c}{\sqrt{c^2}+1}\)

Đến đây :

\(\frac{a}{\sqrt{a^2}+1}\)\(=\frac{a}{\left(a^2+ab+bc+ca\right)}\)\(=\frac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)}\left(a+c\right)}\)

\(=\sqrt{\frac{a}{a+b}}\)\(\cdot\frac{a}{a+c}\)\(< \frac{1}{2}\)\(\left(\frac{b}{b+a}+\frac{b}{b+c}\right);\frac{c}{\sqrt{c^2}+1}\)\(< \frac{1}{2}\)\(\left(\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b}\right)\)

ộng 3 bất đẳng thức lại ta có điều phải chứng minh

Với mọi n nguyên dương ta có:

\(\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)=1\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)

Với k nguyên dương thì 

\(\frac{1}{\sqrt{k-1}+\sqrt{k}}>\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}\Rightarrow\frac{2}{\sqrt{k-1}+\sqrt{k}}>\frac{1}{\sqrt{k-1}+\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}=\sqrt{k}-\sqrt{k-1}+\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\)

\(=\sqrt{k+1}-\sqrt{k-1}\)(*)

Đặt A = vế trái. Áp dụng (*) ta có:

\(\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}>\sqrt{3}-\sqrt{1}\)

\(\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}>\sqrt{5}-\sqrt{3}\)

...

\(\frac{2}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}>\sqrt{81}-\sqrt{79}\)

Cộng tất cả lại

\(2A=\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+....+\frac{2}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}>\sqrt{81}-1=8\Rightarrow A>4\left(đpcm\right)\)

3. 

Theo bất đẳng thức cô si ta có: 

\(\sqrt{b-1}=\sqrt{1.\left(b-1\right)}\le\frac{1+b-1}{2}=\frac{b}{2}\Rightarrow a.\sqrt{b-1}\le\frac{a.b}{2}\)

Tương tự \(\Rightarrow b.\sqrt{a-1}\le\frac{a.b}{2}\Rightarrow a.\sqrt{b-1}+b.\sqrt{a-1}\le a.b\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=2\)

bài này mình nhớ làm khá nhiều ở cả olm và học 24 rồi. Mà chắc nó ko hiện câu hỏi tương tự  nên làm lại 

\(\left(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}\right)\rightarrow\left(a,b,c\right)\). Khi đó cần cm \(\frac{2a}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\frac{9}{4}\) với ab+bc+ca=1

\(VT=\)\(\frac{2a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{b}{\sqrt{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}}+\frac{c}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)

\(=\sqrt{\frac{2a}{a+b}\cdot\frac{2a}{a+c}}+\sqrt{\frac{2b}{a+b}\cdot\frac{b}{2\left(b+c\right)}}+\sqrt{\frac{2c}{a+c}\cdot\frac{c}{2\left(b+c\right)}}\)

\(\le\frac{\frac{2a}{a+b}+\frac{2b}{a+b}+\frac{2a}{a+c}+\frac{2c}{a+c}+\frac{b}{2\left(b+c\right)}+\frac{c}{2\left(b+c\right)}}{2}=\frac{9}{4}\)

Đổi ẩn là ra ah.

\(\left(x,y,z\right)=\left(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\right)\)

Cứ làm chi tiết ra bạn sẽ thấy vấn đề, chỉ việc tìm điểm rơi của bài lệch tâm kiểu này này đã mệt rồi, không phải cứ đặt ẩn phụ là dễ đâu:(

Ta có: \(x+y+z=xyz\Rightarrow x=\frac{x+y+z}{yz}\Rightarrow x^2=\frac{x^2+xy+xz}{yz}\Rightarrow x^2+1=\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{yz}\)\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}=\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{yz}}\le\frac{\frac{x+y}{y}+\frac{x+z}{z}}{2}=1+\frac{x}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)\(\Rightarrow\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}\le\frac{2+\frac{x}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}{x}=\frac{2}{x}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

Tương tự: \(\frac{1+\sqrt{1+y^2}}{y}\le\frac{2}{y}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)\); \(\frac{1+\sqrt{1+z^2}}{z}\le\frac{2}{z}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được: \(\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}+\frac{1+\sqrt{1+y^2}}{y}+\frac{1+\sqrt{1+z^2}}{z}\le3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=3.\frac{xy+yz+zx}{xyz}\)\(\le3.\frac{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}{xyz}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{xyz}=\frac{\left(xyz\right)^2}{xyz}=xyz\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{3}\)

Ta có:\(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{\sqrt{yz}}{\sqrt{yz+x^2yz}}=\frac{\sqrt{yz}}{\sqrt{yz+x\left(x+y+z\right)}}=\sqrt{\frac{yz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)  

Tương tự: \(\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}=\sqrt{\frac{zx}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}}\) 

                 \(\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}=\sqrt{\frac{xy}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\) 

\(\Rightarrow VT=\sqrt{\frac{yz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\sqrt{\frac{zx}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}}+\sqrt{\frac{xy}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x+y}+\frac{z}{x+z}+\frac{z}{y+z}+\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}+\frac{y}{z+y}\right)=\frac{3}{2}\)