Sao lại toán lớp 9

Ta có \(\left(x-y\right)^3+\left(y-z\right)^3+\left(z-x\right)^3\)

\(=\left(x-y\right)^3+\left(y-x+x-z\right)^3+\left(z-x\right)^3\\ =\left(x-y\right)^3+\left(y-x\right)^3+3\left(y-x\right)\left(x-z\right)\left(y-x+x-z\right)+\left(x-z\right)^3+\left(z-x\right)^3\\ =\left(x-y\right)^3-\left(x-y\right)^3+\left(x-z\right)^3-\left(x-z\right)^3+3\left(y-x\right)\left(x-z\right)\left(y-z\right)\\ =3\left(y-x\right)\left(x-z\right)\left(y-z\right)\)

Thay vào pt

\(\Leftrightarrow\left(y-x\right)\left(x-z\right)\left(y-z\right)=10\)

Dễ thấy \(y-z\) là tổng của \(y-x;x-z\)

Mà \(Ư\left(10\right)=\left\{-10;-5;-2;-1;1;2;5;10\right\}\) và ko có số nào là tổng 2 số còn lại có tích bằng 10

Vậy pt vô nghiệm

\(\Leftrightarrow x^y+y^x+x^3+y^3+1+3\left(x+y\right)\left(x+1\right)\left(y+1\right)=x^3+y^3+1+z\)

\(\Leftrightarrow x^y+y^x+3\left(x+y\right)\left(y+1\right)\left(x+1\right)=z\)

Do \(VT>3\Rightarrow z>3\Rightarrow z\) lẻ đồng thời z không chia hết cho 3

Nếu \(x;y\) đều lẻ hoặc đều chẵn \(\Rightarrow VT\) chẵn (không thỏa mãn)

\(\Rightarrow\) x và y có đúng 1 số chẵn, do vai trò của x; y như nhau, giả sử y chẵn \(\Rightarrow y=2\)

\(\Rightarrow x^2+2^x+9\left(x+2\right)\left(x+1\right)=z\)

- Nếu \(x>3\Rightarrow x^2\) chia 3 dư 1, đồng thời do x lẻ \(\Rightarrow x=2k+1\)

\(\Rightarrow2^x=2^{2k+1}=2.4^k\) chia 3 dư 2

\(\Rightarrow x^2+2^x\) chia hết cho 3 \(\Rightarrow VT\) chia hết cho 3 (không thỏa mãn)

\(\Rightarrow x\le3\Rightarrow x=3\Rightarrow z=197\)  (thỏa mãn)

Vậy \(\left(x;y;z\right)=\left(3;2;197\right)\)

Lời giải:

Theo hằng đẳng thức đáng nhớ:

$x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3(x+y)(y+z)(x+z)$

$\Leftrightarrow 3=27-3(x+y)(y+z)(x+z)$

$\Leftrightarrow (x+y)(y+z)(x+z)=8$Đặt $(x+y,y+z,x+z)=(a,b,c)$ thì $abc=8$ và $a+b+c=6$Do $a+b+c=6>0$ nên $(a,b,c)$ sẽ là 3 số dương hoặc $1$ dương $2$ âm.

TH1: $a,b,c$ đều dương.

Áp dụng BĐT AM-GM: $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3\sqrt[3]{8}=6$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=2$

$\Leftrightarrow x+y=y+z=x+z=2\Leftrightarrow x=y=z=1$

TH2: $a,b,c$ có 1 số dương 2 số âm. Giả sử $a$ dương và $b,c$ âm.

$a+b+c=6$ nên $a>6$. Mà $abc=8$ nên $a=8$

$\Rightarrow bc=1$ và $b+c=-2$

$\Rightarrow b=c=-1$

$\Rightarrow x=y=4; z=-5$

Vậy $(x,y,z)=(1,1,1); (4,4,-5)$ và hoán vị.