gfvfvfvfvfvfvfv555

Câu hỏi của Hồ Văn Đạt - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

+ Kẻ AH // FE // CI   \(\left(H,I\in BD\right)\)

+ \(\Delta AOH=\Delta COI\left(g.c.g\right)\)

\(\Rightarrow OH=OI\)

\(\Rightarrow BH+BI=BH+BO+OI\)

\(=BH+OH+BO=2BO=4BM\)

+ Xét \(\Delta ABH\)có : AH // FM theo định lí Ta - lét ta có : 

\(\frac{BA}{BF}=\frac{BH}{BM}\left(1\right)\)

+ Xét \(\Delta BCI\) có CI // ME theo định lí Ta - lét ta có : 

\(\frac{BC}{BE}=\frac{BI}{BM}\left(2\right)\)

+ Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\)

\(\frac{BA}{BF}+\frac{BC}{BE}=\frac{BH}{BM}+\frac{BI}{BM}=\frac{BH+BI}{BM}=\frac{4BM}{BM}=4\)

Chúc bạn học tốt !!!

+ Từ đẳng thức \(\dfrac{BA}{BF}+\dfrac{BC}{BE}=4\) ta có thể viết được 1 đẳng thức

tương tự : \(\dfrac{AB}{AF}+\dfrac{AD}{AK}=4\)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AF}+\dfrac{AD}{AK}+\dfrac{BA}{BF}+\dfrac{BC}{BE}=8\)

\(\Rightarrow AB\left(\dfrac{1}{AF}+\dfrac{1}{BF}\right)+BC\left(\dfrac{1}{AK}+\dfrac{1}{BE}\right)=8\)

+ Áp dụng bđt \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\forall a,b>0\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\) ta có :

\(AB\left(\dfrac{1}{AF}+\dfrac{1}{BF}\right)+BC\left(\dfrac{1}{AK}+\dfrac{1}{BE}\right)\)

\(\ge AB\cdot\dfrac{4}{AF+BF}+BC\cdot\dfrac{4}{AK+BE}\)

\(\Rightarrow8\ge AB\cdot\dfrac{4}{AB}+4\cdot\dfrac{BC}{AK+BE}\)

\(\Rightarrow8\ge4+4\cdot\dfrac{BC}{AK+BE}\)

\(\Rightarrow4\ge4\cdot\dfrac{BC}{AK+BE}\)

\(\Rightarrow1\ge\dfrac{BC}{AK+BE}\) \(\Rightarrow AK+BE\ge BC\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AF=BF\\AK=BE\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) F là trung điểm của AB

* CM : \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\forall a,b>0\)

+ \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-4ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)

Vì bđt cuối luôn đúng mà các phép biến đổi trên là tương đương

nên bđt đã cho luôn đúng

Qua A,C kẻ các đ/thẳng //EF cắt BD tại K,H

Xét tgiac AOK=COH ( OA=OC,AK//HC)

Suy ra OH=OK

Có AK//HC//EF theo Thales có

\(\frac{BA}{BF}=\frac{BK}{BM}\left(1\right),\frac{BC}{BE}=\frac{BH}{BM}\left(2\right)\)

Cộng (1) và (2) có \(\frac{BA}{BF}+\frac{BC}{BE}=\frac{BK+BH}{BM}=\frac{BO-OK+BO+OH}{BM}=\frac{2BO}{BM}=4\)

Câu hỏi của Hồ Văn Đạt - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

+ Kẻ AH // FE // CI \(\left(H,I\in BD\right)\)

+ ΔAOH = ΔCOI ( g.c.g )

=> OH = OI

=> BH + BI = BH + BO + OI

= BH + OH + BO = 2BO = 4BM

+ Xét ΔABH có AH // FM theo định lý Ta-lét ta có :

\(\dfrac{BA}{BF}=\dfrac{BH}{BM}\) (1)

+ Xét ΔBCI có CI // ME theo định lý Ta-lét ta có :

\(\dfrac{BC}{BE}=\dfrac{BI}{BM}\) (2)

+ Từ (1) và (2) => \(\dfrac{BA}{BF}+\dfrac{BC}{BE}=\dfrac{BH}{BM}+\dfrac{BI}{BM}=\dfrac{BH+BI}{BM}=\dfrac{4BM}{BM}=4\)