Ta có BĐT sau:

\(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+ab^2+bc^2+ca^2\ge2a^2b+2b^2c+2c^2a\)

Sử dụng AM - GM ta dễ có được:

\(a^3+ab^2\ge2\sqrt{a^4b^2}=2a^2b\)

\(b^3+bc^2\ge2\sqrt{b^4c^2}=2b^2c\)

\(c^3+c^2a\ge2\sqrt{c^4a^2}=2c^2a\)

\(\Rightarrow BĐT\) đầu tiên đúng

Khi đó ta có:

\(a^2+b^2+c^2\ge a^2b+b^2c+c^2a\Rightarrow P\ge a^2b+b^2c+c^2a+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}\)

Một vài đánh giá cơ bản rồi đặt ẩn phụ rồi xét đạo hàm phát ra nhé

@huybip5cc, bn giải kĩ ra giúp mk nhé, mk dốt lắm, nhìn vậy ko hiểu đâu ạ, mơn nh!

p \(\ge\)\(\frac{4}{a^2+b^2+2\left(a+b\right)}\) +\(\sqrt{\left(1+ab\right)^2}\) (bunhia và cosi)

  =\(\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+1+ab=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+a+b+1\)

do \(a+b=ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\Rightarrow a+b\ge4\)

dạt a+b = t thì t>=4

cần tìm min \(\frac{4}{t^2}+t+1=\frac{4}{t^2}+\frac{t}{16}+\frac{t}{16}+\frac{7t}{8}+1\)

                                      \(\ge3.\sqrt[3]{\frac{4}{t^2}.\frac{t}{16}.\frac{t}{16}}+\frac{7.4}{8}+1=\frac{21}{4}\)

dau = xay ra khi a=b=2

Cần các cao nhân giải khác phương pháp SS

Không làm theo cách đánh giá 3(a²b+b²c+c²a)\(\le\)(a+b+c)(a²+b²+c²)=3(a²+b²+c²)

Ai làm được xin cảm ơn trước

#)Giải :

Ta có : \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(=a^3+b^3+c^3+a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2\)

Áp dụng BĐT Cauchy :

\(\hept{\begin{cases}a^3+ab^2\ge2a^2b\\b^3+bc^2\ge2b^2c\\c^3+ca^2\ge2c^2a\end{cases}}\)

\(\Rightarrow P\ge a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\)

\(\Rightarrow P\ge a^2+b^2+c^2+\frac{9-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

Đặt \(t=a^2+b^2+c^2\Rightarrow t\ge3\)

\(\Rightarrow P\ge t+\frac{9-t}{2t}=\frac{t}{2}+\frac{9}{2t}+\frac{t}{2}-\frac{1}{2}\ge3+\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=4\)

\(\Rightarrow P\ge4\Rightarrow P_{min}=4\)

Dấu ''='' xảy ra khi a = b = c = 1

T.Ps copy bài anh Incursion_03, đáp án đề thi chuyên PBC à?

24+t−94(∗)
Xét hàm (∗) được: MinF(t)=F(23)=−19
⇒MinP=MinF(t)=−19.dấu "=" xảy ra khi a=b=c=13

Ta có : \(p=\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{ca}{b^2\left(a+c\right)}+\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}\)

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có :

\(\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{b+c}{4bc}\ge2\sqrt{\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}.\frac{b+c}{4ab}}=\frac{1}{a}\)

\(\frac{ac}{b^2\left(a+c\right)}+\frac{a+c}{4ac}\ge4\sqrt{\frac{ac}{b^2\left(a+c\right)}.\frac{a+c}{4ac}}=\frac{1}{b}\)

\(\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}+\frac{a+b}{4ab}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}.\frac{a+b}{4ab}}=\frac{1}{c}\)

Cộng vế với vế ta được \(p+\frac{1}{4c}+\frac{1}{4a}+\frac{1}{4b}+\frac{1}{4a}+\frac{1}{4c}+\frac{1}{4b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

\(\Leftrightarrow p+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

\(\Rightarrow p\ge\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{2a.2b.2c}}=\frac{3}{\sqrt[3]{8abc}}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Xét: \(\frac{bc}{a^2b+ca^2}=\frac{bc}{a\cdot abc\cdot\frac{1}{c}+a\cdot abc\cdot\frac{1}{b}}=\frac{b^2c^2}{ab+ca}\)(*)

Tương tự với (*) ta có: \(\hept{\begin{cases}\frac{ca}{b^2c+ab^2}=\frac{c^2a^2}{ab+bc}\\\frac{ab}{c^2a+bc^2}=\frac{a^2b^2}{ca+bc}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\Sigma_{cyc}\frac{bc}{a^2b+ca^2}=\Sigma_{cyc}\frac{b^2c^2}{ab+ca}\)

Ta thấy\(\Sigma_{cyc}\frac{b^2c^2}{ab+ca}\) có dạng: \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\)

Bước cuối Cô-si ba số và kết hợp điều kiện abc=1 là xong