Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho những số không âm, ta được: 

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\cdot\sqrt[4]{a^4\cdot b^4\cdot c^4\cdot d^4}=4abcd\)

Dấu '=' xảy ra khi a=b=c=d

hay tứ giác ABCD là hình thoi

Gán giá trị: a = b = c = d = 1

Ta có, giá trị phải thỏa mãn điều kiện \(a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd\Leftrightarrow1^4+1^4+1^4+1^4=1+1+1+1\)

\(=4\) (thỏa mãn yêu cầu đề bài)

\(\RightarrowĐPCM\)

Ps: Làm xàm chút thôi! nhưng vẫn có thể đúng!

áp dụng bất đẳng thức a²+b²\(\ge\)2ab, dấu bằng xảy ra khi a=b

Ta có a⁴+b⁴\(\ge\)2a²b²,dấu bằng xảy ra khi a=b

c⁴+d⁴\(\ge\)2c²d²,dấu bằng xảy ra khi c=d

a²b²+c²d²\(\ge\)2abcd,dấu bằng xảy ra khi ab=cd

Vậy a⁴+b⁴+c⁴+d⁴\(\ge\)2a²b²+2c²d²=2(a²b²+c²d²)\(\ge\)2.2abcd=4abcd

Dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=b\\c=d\\ab=cd\end{cases}}\)suy ra a=b=c=d suy ra a,b,c,d là 4 cạnh của 1 hình thoi

giải:

giả sử a, b, ,c, d lần lượt là các cạnh của 1 hình thoi

=>a = b = c = d

theo đề bài, ta có:

a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = 4abcd

hay a^4 + a^4 + a^4 + a^4 = 4aaaa

<=> 4a^4 = 4a^4 (ĐPCM)

E, F lần lượt là trung điểm của AB và BC (gt)

\(\Rightarrow\) EF là đường trung bình của tam giác ABC

\(\Rightarrow\) EF // AC và EF = \(\frac{1}{2}\) AC (1)

H, G lần lượt là trung điểm của AD và DC (gt)

\(\Rightarrow\) HG là đường trung bình của tam giác ACD

\(\Rightarrow\) HG // AC và HG = \(\frac{1}{2}\) AC (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) EF // HG và EF = HG

\(\Rightarrow\) Tứ giác EFGH là hình bình hành

Tứ giác EFGH là hình bình hành. EF // AC, EF = \(\frac{1}{2}\) AC 

Ta còn có EH là đường trung bình của tam giác ABD

\(\Rightarrow\) EH // BD và EH = \(\frac{1}{2}\) BD

- Tứ giác EFGH là hình chữ nhật

\(\Leftrightarrow\) Hình bình hành EFGH có: 

\(\widehat{HEF}=90^o\)

\(\Leftrightarrow HE\perp EF\)

\(\Leftrightarrow EH\perp AC\)

\(\Leftrightarrow AC\perp BD\)

Vậy tứ giác ABCD cần thêm điều kiện hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau thì tứ giác EFGH là hình chữ nhật

- Tứ giác EFGH là hình thoi

\(\Leftrightarrow\) Hình bình hành EFGH có: EF = EH \(\Leftrightarrow\) AC = BD

Vậy tứ giác ABCD cần thêm điều kiện hai đường chéo AC và BD bằng nhau thì tứ giác EFGH là hình thoi

- Tứ giác EFGH là hình vuông

\(\Leftrightarrow\) Hình chữ nhật EFGH có: EF = EH \(\Leftrightarrow\) AC = BD

Vậy tứ giác ABCD cần thêm điều kiện hai đường chéo AC và BD vuông góc và bằng nhau thì tứ giác EFGH là hình vuông

a/

Xét \(\Delta ABC\) có

MA=MB; NB=NC => MN là đường trung bình của \(\Delta ABC\Rightarrow MN=\frac{AC}{2}\) (1) và MN //AC (2)

Xét \(\Delta ADC\) có

QA=QD; PD=PC => PQ là đường trung bình của \(\Delta ABC\Rightarrow PQ=\frac{AC}{2}\)  (3) Và PQ // AC (4)

Từ (1) Và (3) => MN=PQ; từ (2) và (4) => MN // PQ => MNPQ là hình bình hành (tứ giác có 1 cặp cạnh đối // và = nhau là hbh)

b/

Nếu MNPQ là hình chữ nhật \(\Rightarrow\widehat{QMN}=90^o\) (1)

Ta có MN // AC (2)

Xét tg ABD có 

MA=MB; QA=QD => QM là đường trung bình của tg ABD => QM // BD (3)

Gọi O là giao của MP và NQ. Từ  (2) và (3) \(\Rightarrow\widehat{AOB}=\widehat{QMN}=90^o\) (Góc có cạnh tương ứng //)

\(\Rightarrow AC\perp BD\) 

Vậy để MNPQ là HCN thì ABCD cần điều kiện là hai đường chéo vuông góc với nhau

c/

Nếu MNPQ là hình thoi => QM=MN (1)

Ta có QM là đường trung bình của tg ABD \(\Rightarrow QM=\frac{BD}{2}\) (2)

Ta cũng có \(MN=\frac{AC}{2}\left(cmt\right)\) (3)

Từ (1) (2) và (3) => AC=BD

Vậy để MNPQ là hình thoi thì ABCD cần điều kiện là hai đường chéo = nhau

Bài 2:

a: Xet ΔABC có AD/AB=AF/AC

nen DF//BC và DF=1/2BC

=>BDFC là hình thang

mà góc B=góc C

nên BDFC là hình thang cân

b Xet ΔABC có

CE/CB=CF/CA

nên EF//AB và EF=AB/2

=>EF//AD và EF=AD
=>ADEF là hình bình hành

mà AD=AF

nen ADEF là hình thoi

c: Để ADEF là hình vuông thì góc BAC=90 độ