Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$2x^2+3x+2$

$=2(x^2+\frac{3}{2}x+1)$

$=2(x^2+2.x.\frac{3}{4}+\frac{9}{16}+\frac{7}{16})$

$=2[{(x+\frac{3}{4})}^2+\frac{7}{16}]$

$=2{(x+\frac{3}{4})}^2+\frac{7}{8}$

Nhận xét:

$2{(x+\frac{3}{4})}^2\ge 0$ $\forall$$x$

$\Rightarrow 2{(x+\frac{3}{4})}^2+\frac{7}{8}>0$ $\forall$$x$

Mà $x^3+2x^2+3x+2=y^3$

Nên: $x^3<y^3$

Giả sử: $y^3<{(x+2)}^3$

$\iff x^3+2x^2+3x+2<x^3+6x^2+12x+8$

$\iff -4x^2-9x-6<0$

$\iff -(4x^2+9x+6)<0$

$\iff 4x^2+9x+6>0$

$\iff 4(x^2+\frac{9}{4}x+\frac{81}{64})+\frac{15}{16}>0$

$\iff 4(x^2+2.x.\frac{9}{8}+\frac{81}{64})+\frac{15}{16}>0$

$\iff 4{(x+\frac{9}{8})}^2+\frac{15}{16}>0$ (luôn đúng)

Vậy điều giả sử đúng hay $y^3<{(x+2)}^3$

Mà: $x^3<y^3$

Nên: $x^3<y^3<{(x+2)}^3$

Mà $y^3$ là lập phương của $1$ số nguyên, giữa $x^3$ và ${(x+2)}^3$ chỉ có duy nhất $1$ lập phương của số nguyên là ${(x+1)}^3$

Nên: $y^3={(x+1)}^3$

$\iff x^3+2x^2+3x+2=x^3+3x^2+3x+1$

$\iff -x^2+1=0$

$\iff 1-x^2=0$

$\iff (1-x)(1+x)=0$

$\iff$ $[\begin{array}{c}1-x=0\\ 1+x=0\end{array}$

$\iff$ $[\begin{array}{c}x=1\\ x=-1\end{array}$

$+)x=1$ thì $y^3=1+2+3+2=8$

<=> y=2`

$+)x=-1$ thì $y^3=-1+2-3+2=0$

$\iff y=0$

Vậy $(x,y)=(1,2);(-1,0)$

\(x^3+2x^2+3x+2=y^3\left(1\right)\)

- Nếu \(x=0\Leftrightarrow y^3=2\) không tồn tại y nguyên

- Nếu \(x\ne0\Rightarrow x^2\ge1\Rightarrow x^2-1\ge0\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow y^3=x^3+2x^2+3x+2\)

\(\Leftrightarrow y^3=x^3+3x^2+3x+1-\left(x^2-1\right)\)

\(\Leftrightarrow y^3=\left(x+1\right)^3-\left(x^2-1\right)\le\left(x+1\right)^3\left(2\right)\)

Ta lại có 

\(y^3=x^3+2x^2+3x+2=x^3+\left[2\left(x^2+\dfrac{3}{2}x+\dfrac{9}{16}\right)+2-\dfrac{9}{8}\right]\)

\(\Rightarrow y^3=x^3+\left[2\left(x+\dfrac{3}{4}\right)^2+\dfrac{7}{8}\right]\)

mà \(\left[2\left(x+\dfrac{3}{4}\right)^2+\dfrac{7}{8}\right]>0\)

\(\Rightarrow y^3< x^3\left(3\right)\)

\(\left(2\right),\left(3\right)\Rightarrow x^3< y^3\le\left(x+1\right)^3\)

\(\Rightarrow y^3=\left(x+1\right)^3\)

\(\left(2\right)\Rightarrow x^2-1=0\)

\(\Rightarrow x^2=1\)

\(\Rightarrow x=1;x=-1\)

Nếu \(x=-1\Rightarrow y=0\)

Nếu \(x=1\Rightarrow y=2\)

Vậy \(\left(x;y\right)\in\left\{\left(-1;0\right);\left(1;2\right)\right\}\) thỏa mãn đề bài

Với [x>1x<−1] ta có: x3<x3+2x2+3x+2<(x+1)3⇒x3<y3<(x+1)3 (không xảy ra)
Từ đây suy ra −1≤x≤1
Mà x∈Z⇒x∈{−1;0;1}
∙ Với x=−1⇒y=0
∙ Với x=0⇒y=2√3 (không thỏa mãn)
∙ Với x=1⇒y=2
Vậy phương trình có 2 nghiệm nguyên (x;y) là (−1;0) và (1;2) 

x=-1,y=0

Phương trình cho \(\Leftrightarrow x^3-2x^2+3x-y^3-1=0\)(1)

\(\Leftrightarrow y^3=x^3-2x^2+3x-1\)(2)

Ta có: \(\left(x-1\right)^3=x^3-3x^2+3x-1\le x^3-2x^2+3x-1=y^3\)(Do \(3x^2\ge2x^2\ge0\))

Lại có: \(\left(x+1\right)^3=x^3+3x^2+3x+1=\left(x^3-2x^2+3x-1\right)+5x^2+2>y^3\)

Do đó: \(\left(x-1\right)^3\le y^3< \left(x+1\right)^3\Rightarrow x-1\le y< x+1\)

Mà y thuộc Z nên \(\orbr{\begin{cases}y=x\\y=x-1\end{cases}}\)

+) Với y=x, thay vào (1) ta được: \(-2x^2+3x-1=0\Leftrightarrow2x^2-3x+1=0\)

\(\Leftrightarrow2x^2-2x-x+1=0\Leftrightarrow2x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(2x-1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=\frac{1}{2}\left(l\right)\end{cases}}\)\(\Rightarrow x=y=1\)

+) Với y = x-1; thay vào (2), ta được:

\(x^3-2x^2+3x-1=\left(x-1\right)^3\Leftrightarrow x^2=0\Rightarrow x=0\)\(\Rightarrow y=-1\)

Vậy các cặp nghiệm nguyên t/m pt cho là \(\left(x;y\right)\in\left\{\left(1;1\right);\left(0;-1\right)\right\}.\)

hhcjggcjjdhdkfjfghn

fcfdcfgfvg

32+123-333(32=32

I love you

Với \(\left[x>1x< -1\right]\)ta có \(x3< x3+2x2+3x+2< \left(x+1\right)3\Rightarrow x3< y3< \left(x+1\right)3\)Không xảy ra

Từ đây suy ra:\(-1\le x\le1\)

Mà \(x\in Z\Rightarrow x\in\){1,0,-1}

-Với x = -1 thì y = 0

-Với x = 0 thì y = \(2\sqrt{3}\)(loại)

-Với x= 1 thì y = 2

Vậy phương trình có 2 nghiệm nguyên (x;y) là {-1;0 và 1;2}

Với [x>1x<−1] ta có: x^3< x^3+2x^2+3x+2<(x+1)^3⇒x^3<y^3<(x+1)^3 (không xảy ra)
Từ đây suy ra −1≤ x ≤1
Mà x ∈ Z ⇒x ∈ {−1;0;1}
∙∙ Với x=−1⇒y=0
∙∙ Với x=0⇒y= căn bậc 3 của 2 (không thỏa mãn)
∙∙ Với x=1 ⇒y=2
Vậy phương trình có 2 nghiệm nguyên (x;y) là (−1;0) và (1;2)

Xét \(2x^2+3x+2=2\left(x^2+\frac{3}{4}\right)^2+\frac{7}{16}>0\forall x\)

\(\Rightarrow x^3< y^3\left(1\right)\)

Giả sử:\(y^3< \left(x+2\right)^3\)

\(\Leftrightarrow x^3+2x^2+3x+2< x^3+6x^2+12x+8\)

\(\Leftrightarrow-4x^2-9x-6< 0\)

Mai lm tiếp

Lm tiếp nè:

\(\Leftrightarrow4x^2+9x+6>0\)

\(\Leftrightarrow4\left(x+\frac{9}{8}\right)^2+\frac{15}{64}>0\)

=>Gs đúng

\(\Rightarrow y^3< \left(x+2\right)^3\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow y^3=\left(x+1\right)^3\)

\(\Leftrightarrow x^3+2x^2+3x+2=x^3+3x^2+3x+1\)

\(\Leftrightarrow x^2=1\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=-1\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=2\\y=0\end{cases}}}\)

Vậy....