Cho đa thức P(x)=ax2+bx+c với a,b,c là các số nguyên . Biết rằng P(x) chia hết cho 5 với mọi số nguyên x . Chứng tỏ rằng a,b,c cũng chia hết cho 5
Bài 6: (0,5 điểm)
Cho đa thức P(x) = ax2 + bx + c trong đó các hệ số a, b, c là các số nguyên. Biết rằng giá trị của đa thức chia hết cho 5 với mọi giá trị nguyên của x. Chứng minh rằng a, b, c đều chia hết cho 5.
tham khảo
Vì P ( x ) = ax2ax2 + bx + c chia hết cho 5 với mọi giá trị nguyên của x nên :
P ( 0 ) ; P ( 1 ) ; P ( - 1 ) tất cả đều chia đều cho 5 .
Ta có :
P ( 0 ) chia hết cho 5
⇒ a . 02+ b . 0 + c chia hết cho 5
⇒ c chia hết cho 5
P ( 1 ) chia hết cho 5
⇒ a . 12 + b . 1 + c chia hết cho 5
⇒ a + b + c chia hết cho 5
Vì c chia hết cho 5 ⇒ a + b chia hết cho 5 ( 1 )
P ( - 1 ) chia hết cho 5
⇒ a . (−1)2(−1)2 + b . ( - 1 ) + c chia hết cho 5
⇒ a + b + c chia hết cho 5
Từ ( 1 ) ; ( 2 ) ⇒ a + b + a - b chia hết cho 5
⇒ 2a chia hết cho 5
Mà ƯCLN ( 2 ; 3 ) = 1 ⇒ a chia hết cho 5
Vì a + b chia hết cho 5 ; a chia hết cho 5 ⇒ b chia hết cho 5
Vậy a , b , c chia hết cho 5 . ( đpcm )
cho đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx +d. Với a,b,c,d là các hệ số nguyên. Biết P(x) chia hết cho 5 với mọi số nguyên x. Chứng tỏ rằng các số nguyên a,b,c,d cũng chia hết cho 5
Cho đa thức P(x)=ax2 + bx +c với a,b,c là các hệ số nguyên. Biết rằng P(x) chia hết cho 5 với mọi x.CMR a,b,c cũng chia hết cho 5
Nếu x=0 thì ta có: P(0)=a.0^2+b.0+c
=0+0+c=c
Vì P(x) chia hết cho 5 với mọi x nên c chia hết cho 5.
Nếu x=1 thì ta có:P(1)=a.1^2+b.1+c
=a.1+b+c
=a+b+c
vì c chia hết cho 5 => (a+b) chia hết cho 5
Nếu x=-1 thì ta có:P(-1)=a.(-1)^2+b.(-1)+c
=a.1+(-b)+c
=a-b+c
vì c chia hết cho 5 => (a-b) chia hết cho 5
Ta có: P(1)+P(-1)=a+b+a-b=2a
Vì P(1) + P(-1) chia hết cho 5 mà (2;5)=1 => a chia hết cho 5
Ta có:P(1)-P(-1)=a+b-a-b=2b
Vì P(1)-(P-1) chia hết cho 5 mà (2;5)=1=> b chia hết cho 5
Vậy a,b,c chia hết cho 5(ĐPCM)
cho P(x) =\(ax^3+bx^2+cx+d\) với a,b,c,d là các số nguyên. Biết rằng giá trị của đa thức chia hết cho 5 với mọi giá trị nguyên của x. Chứng minh rằng a,b,c,d chia hết cho 5
Cho đa thức p(x) = ax3 + bx 2 +cx + d , với a,b,c,d là các hệ số nguyên . Biết rằng , p(x) chia hết cho 5 với mọi x nguyên . Chứng minh rằng a,b,c,d đều chia hết cho 5.
Tham khảo nhé:
Câu hỏi của Doraemon - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
Cho đa thức F(x) = ax^3+bx^2+cx+dvới a,b,c,d là các số nguyên.Biết rằng với mọi giá trị nguyên của x thì giá trị của đa thức đều chia hết cho 5.Chứng minh rằng a,b,c,d đều chia hết cho 5
F(0)=d⇒d⋮5F(0)=d⇒d⋮5
F(1)=a+b+c+d⋮5⇒a+b+c⋮5F(1)=a+b+c+d⋮5⇒a+b+c⋮5
F(−1)=−a+b−c+d⋮5⇒−a+b−c⋮5F(−1)=−a+b−c+d⋮5⇒−a+b−c⋮5
⇒(a+b+c)+(−a+b−c)⋮5⇒(a+b+c)+(−a+b−c)⋮5
⇒2b⋮5⇒b⋮5⇒2b⋮5⇒b⋮5
⇒a+c⋮5
Cho đa thức F(x)=ax^2+bx+c(a,b,c là các hệ số nguyên) Chứng minh rằng nếu F(x) chia hêt cho 3 với mọi x thì các hệ số a,b,c cũng chia hết cho 3
xét x=o nên f(x) = c nên c chia hết cho 3
xét x=1 suy ra f(x) = a+b+c vì c chia hết cho 3 nên a+b chi hết cho 3 (1)
xét x =-1 suy ra f(x)=a-b+c chia hết cho 3 tương tự suy ra a-b chia hết cho 3 (2)
từ 1 và 2 suy ra a+b+a-b chia hết cho 3 nên 2a chia hết cho 3 mà (2,3)=1 nên a chia hết cho 3 nên b chia hết 3
Cho đa thức P(x)=\(a.x^2+b.x+c\)với a,b,c là các hệ số nguyên, Biết rằng f(x) chia hết cho 3 với mọi số nguyên x. Chứng minh rằng các số nguyên a,b,c cũng chia hết cho 3
Ta có f(0)=c chia hết cho 3
f(1)=a+b+c chia hết cho 3, mà c chia hết cho 3=> a+b chia hết cho 3.
f(-1)=a-b+c chia hết cho 3, c chia hết cho 3 => a-b chia hết cho 3.
Vì a,b,c nguyên nên a+b+a-b=2a chia hết cho 3. Do 2 và 3 nguyên tố cùng nhau => a phải chia hết cho 3.
a,c chia hết cho 3, a+b+c chia hết cho 3=> b chia hết cho 3
Cho đa thức Q(x) = ax3 + bx2 +cx + d với a,b,c,d là các số nguyên. Biết Q(x) chie hết cho 5 với mọi giá trị nguyên của x. Chứng tỏ các hệ số a,b,c,d đều chia hết cho 5
Cách giải bài này :
Vì Q(x) chia hết cho 5 với mọi x nguyên, nên em chọn 1 số giá trị thích hợp của x để đưa đến các pt nhiều ẩn
Ví dụ Q(0) = d chia hết cho 5; Q(1) = a +b +c +d, vì d chia hết cho 5 => a +b +c chia hết cho 5 (1)
Q(-1) = -a +b -c +d, vì d chia hết cho 5 => -a +b -c chia hết cho 5 (2)
Cộng từ vế (1) và (2) đc 2b chia hết cho 5 => b chia hết cho 5 vì (2,5) = 1
Trừ từng vế (1) và (2) ....
Em tính thêm Q(3) nữa là đc