a, Vì AD là phân giác nên \(\frac{AB}{AC}=\frac{DB}{DC}\Rightarrow\frac{DC}{AC}=\frac{DB}{AB}\)

Theo tc dãy tỉ số bằng nhau 

\(\frac{DC}{AC}=\frac{DB}{AB}=\frac{BC}{AB+AC}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}\Rightarrow DC=6cm;DB=4cm\)

a) △ABC có AD là đường phân giác

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{DB}{DC}\) (t/c)

\(\Rightarrow\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow3DB=2DC\)

Mà \(BD+CD=BC=10\)

\(\Rightarrow2BD+2CD=5BD=20\\ \Rightarrow BD=4\left(cm\right)\)

△ABC có AE là đường phân giác ngoài tại đỉnh A

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{EB}{EC}\) (T/c)

\(\Rightarrow\dfrac{EB}{EC}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow3EB=2EC\)

Mà \(EC=EB+BC=EB+10\)

\(\Rightarrow2EB+20=2EC=3EB\\ \Rightarrow BE=20\left(cm\right)\)

b) △ABC có AD là đường phân giác trong

AE là đường phân giác ngoài tại đỉnh A

\(\Rightarrow AD\perp AE\) → △ADE vuông tại A

c) Kẻ AH ⊥ BC

\(S_{ADB}=\dfrac{AH}{2}\cdot BD\)

\(S_{ADC}=\dfrac{AH}{2}\cdot CD\)

Mà \(DB=\dfrac{2}{3}DC\)

\(\Rightarrow S_{ADB}=\dfrac{2}{3}S_{ADC}\)

b) Vì AD là phân giác góc BAC (gt) => ^BAD = ^DAC

Gọi tia đối của AC là d

Vì AE là phân giác ^dAB (gt) => ^dAE = ^EAB

Tá có: ^BAD + ^DAC + ^dAE + ^EAB = 180^o

=> 2 ^EAB + 2 ^BAD = 180^o

<=> ^EAB + ^BAD = 90^o

<=> ^EAD = 90^o

Xét tam giác ADE:  ^EAD = 90^o (cmt)

=> tam giác ADE vuông tại A (đpcm)

\(BD+CD=BC=10\Rightarrow CD=10-BD\)

Theo định lý phân giác:

\(\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{CD}{AC}\Rightarrow\dfrac{BD}{6}=\dfrac{10-BD}{9}\Rightarrow15BD=60\Rightarrow BD=4\)

\(\Rightarrow CD=10-BD=6\)

\(EC=EB+BC=EB+10\)

Theo định lý phân giác:

\(\dfrac{EB}{AB}=\dfrac{EC}{AC}\Rightarrow\dfrac{EB}{6}=\dfrac{EB+10}{9}\Rightarrow3EB=60\Rightarrow EB=20\)

-Xét △ABC có: AD là đường phân giác trong (gt).

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}\) (định lí đường phân giác trong tam giác).

\(\Rightarrow\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{DC}{AC}=\dfrac{BD+DC}{AB+AC}=\dfrac{BC}{AB+AC}\)

\(\Rightarrow BD=\dfrac{AB.BC}{AB+AC}=\dfrac{6.10}{6+9}=4\left(cm\right)\)

\(DC=BC-BD=10-4=6\left(cm\right)\).

-Xét △ABC có: AE là đường phân giác ngoài (gt).

\(\Rightarrow\dfrac{EB}{EC}=\dfrac{AB}{AC}\)(định lí đường phân giác trong tam giác).

\(\Rightarrow\dfrac{EB}{AB}=\dfrac{EC}{AC}=\dfrac{EC-EB}{AC-AB}=\dfrac{BC}{AC-AB}\)

\(\Rightarrow EB=\dfrac{AB.BC}{AC-AB}=\dfrac{6.10}{9-6}=20\left(cm\right)\)

\(EC=BC+EB=10+20=30\left(cm\right)\)

Tham khảo:

Lời giải:
a. $AB=AC=14$ cm nên $ABC$ là tam giác cân tại $A$
Do đó đường phân giác $AD$ đồng thời là đường trung tuyến 

$\Rightarrow BD=DC=\frac{BC}{2}=6$ (cm) 

b. 

$\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{BD}{CD}=1$ 

Hình vẽ:

Cậu tự vẽ hình nhé !

Chứng minh :

a) Xét \(\Delta\)ABC : BD là tia phân giác của góc BAC ( giả thiết )

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}\) ( tính chất đường phân giác trong tam giác )

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{BD}{BD+DC}=\dfrac{AB}{AB+AC}\)  

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{AB}{AB+AC}\)

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{BD}{12}=\dfrac{14}{28}\)

\(\Rightarrow\) BD = \(\dfrac{12.14}{28}\) = 6 cm 

Có BD + DC = BC ( tính chất cộng đoạn thẳng )

\(\Rightarrow\) DC = BC - BD = 12 -6 = 6 cm

b) Xét \(\Delta\)ABC có : AB = AC ( = 14 )  

\(\Rightarrow\) \(\Delta\)ABC cân tại A 

\(\Rightarrow\) góc ABC = góc ACB ( 2 góc ở đáy )

 Xét \(\Delta\)ABD và \(\Delta\)ACD có :

 góc ABC = góc ACB ( chứng minh trên ) 

góc BAD = góc DAC ( BD là tia phân giác của góc BAC ) 

\(\Rightarrow\)\(\Delta ABD\) đồng dạng \(\Delta\)ACD ( g.g )

\(\Rightarrow\dfrac{S\Delta ABD}{S\Delta ACD}=^{ }\) \(\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2\)

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{S\Delta ABD}{S\Delta ACD}=\dfrac{144}{144}=1\)