a, xét t.giác BMC và t.giác DMA có:

           BM=DM(gt)

          \(\widehat{AMD}\)=\(\widehat{CMB}\)(vì đối đinh)

          AM=MC(gt)

=>t.giác BMC=t.giác DMA(c.g.c)

=>\(\widehat{ADM}\)=\(\widehat{MBC}\)mà 2 góc này ở vị trí so le nên AD//BC

b,xét t.giác MAB và t.giác MCD có:

            MA=MC(gt)

            \(\widehat{AMB}\)=\(\widehat{CMD}\)(vì đối đỉnh)

            MB=MD(gt)

=>t.giác MAB=t.giác MCD(c.g.c)

=>\(\widehat{MDC}\)=\(\widehat{MBA}\) mà 2 góc này ở vị trí so le nên AB//DC

xét t.giác DAB và t.giác DCB có:

          \(\widehat{ADB}\)=\(\widehat{CBD}\)(vì so le)

          DB cạnh chung

          \(\widehat{ABD}\)=\(\widehat{CDB}\)(vì so le)

=>t.giác DAB=t.giác DCB(g.c.g)

=>DA=DC

=>t.giác ACD cân tại D

chtt

a) Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABC}+\widehat{CBD}=180^o\\\widehat{ACB}+\widehat{BCE}=180^o\end{matrix}\right.\left(kềbù\right)\)

Lại có : \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)

Nên : \(180^o-\widehat{ABC}=180^o-\widehat{ACB}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{CBD}=\widehat{BCE}\)

Xét \(\Delta BDC,\Delta CBE\) có :

\(BC:Chung\)

\(\widehat{CBD}=\widehat{BCE}\left(cmt\right)\)

\(BD=CE\left(gt\right)\)

=> \(\Delta BDC=\Delta CBE\left(c.g.c\right)\)

Xét \(\Delta BID,\Delta CIE\) có :

\(\widehat{BID}=\widehat{CIE}\) (đối đỉnh)

\(BD=CE\left(gt\right)\)

\(\widehat{BDI}=\widehat{CEI}\) (do \(\Delta BDC=\Delta CBE\))

=> \(\Delta BID=\Delta CIE\left(g.c.g\right)\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}IB=IC\left(\text{2 cạnh tương ứng}\right)\\ID=IE\left(\text{2 cạnh tương ứng}\right)\end{matrix}\right.\)

b) Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\left(\text{tam giác ABC cân tại A}\right)\\BD=CE\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)

Lại có : \(\left\{{}\begin{matrix}AB+BD=AD\\AC+CE=AE\end{matrix}\right.\)

Suy ra : \(AB+BD=AC+EC\)

\(\Leftrightarrow AD=AE\)

=> \(\Delta ADE\) cân tại A

Ta có : \(\widehat{ADE}=\widehat{AED}=\dfrac{180^o-\widehat{A}}{2}\left(1\right)\)

Xét \(\Delta ABC\) cân tại A có :

\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{ADE}=\widehat{ABC}\left(=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\right)\)

Mà thấy : 2 góc này ở vị trí đồng vị

=> \(BC//DE\rightarrowđpcm\)

c) Xét \(\Delta ABM,\Delta ACM\) có :

\(AB=AC\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)

\(\widehat{ABM}=\widehat{ACM}\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)

BM = CM (M là trung điểm của BC)

=> \(\Delta ABM=\Delta ACM\left(c.g.c\right)\)

=> \(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\) (2 góc tương ứng)

=> AM là tia phân giác của \(\widehat{A}\) (3)

Ta chứng minh : \(\Delta ABI=\Delta ACI\)

Suy ra : \(\widehat{AIB}=\widehat{AIC}\) (2 góc tương ứng)

=> AI là tia phân giác của \(\widehat{A}\) (4)

Từ (3) và (4) => \(AM\equiv AI\)

=> A, M, I thẳng hàng.

=> đpcm

a) Xét tam giác BMC và tam giác DMA có:

AM=AC( M là trung điểm của AC)

AMD^= BMC^( 2 góc đối đỉnh)

BM=MD( gt)

Suy ra: tam giác BMC= tam giác DMA( c.g.c)( đpcm)

b) Xét tam giác DMC và tam giác BMA có:

MB= MD( gt)

DMC^= AMB^( đối đỉnh)

MA=MC( M là trung điểm của AC)

Suy ra: Tam giác DMC= tam giác BMA( c.g.c)

=> AB=DC( 2 cạnh tương ứng)(1)

Mà AB= AC( Tam giác ABC cân tại A)(2)

Từ (1) và (2)

=> DC=AC

=> tam giác ADC cân tại C( đpcm)

 c) có tam giác BMC = tam giác DMA(cmt)

=> BM=DM ( 2 cạnh t/ ứ)

=> M là trung điểm của BD

xét tam giác BDE có

 EM là trung tuyến ứng vs BD ( M là trung điểm của BD)

CI là trung tuyến ứng vs BE ( I là trung điểm của BE)

mà EM giao vs CI tại C

=> C là trọng tâm

=> DC là trung tuyến ứng vs BE

mà CI cũng là đường trung tuyến ứng vs BE(cmt)

=> DC trùng với CI

=> D,C,I thẳng hàng

vậy DC đi qua trung điểm I của BÉ