Mọi người cho mình hỏi với ạ: T/ chất đường trung bình ý ạ, có thể suy ra ngược lại là nếu có một đường song song với cạnh c thì nó cắt a và b ở trung điểm không ?
Cho tam giác ABC :
a) Qua trung điểm D của cạnh BC, kẻ đường thẳng song song với AB, nó cắt cạnh AC tại E. Qua E, kẻ đường thẳng song song với BC, nó cắt AB tại F. Chứng minh \(\Delta CDE=\Delta EFA\). Từ đó suy ra E là trung điểm của cạnh AC ?
b) Chứng minh rằng đường thẳng đi qua các trung điểm hai cạnh của một tam giác thì song song với cạnh thứ ba của tam giác đó ?
c) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trực tâm của tam giác có ba đỉnh là trung điểm ba cạnh của tam giác ABC ?
a: Xét tứ giác BFED có
ED//BF
FE//BD
Do đó: BFED là hình bình hành
Xét ΔABC có
D là trung điểm của BC
DE//AB
Do đó: E là trung điểm của AC
Xét ΔABC có
E là trung điểm của AC
EF//CB
Do đó: F là trung điểm của AB
Xét ΔCDE và ΔEFA có
CD=EF
DE=FA
CE=EA
Do đó: ΔCDE=ΔEFA
b: Gọi ΔABC có F là trung điểm của AB,E là trung điểm của AC
Trên tia FE lấy điểm E sao cho E là trung điểm của FK
Xét tứ giác AFCK có
E là trung điểm của AC
E là trung điểm của FK
Do đó: AFCK là hình bình hành
Suy ra: AF//KC và KC=AF
hay KC//FB và KC=FB
Xét tứ giác BFKC có
KC//FB
KC=FB
Do đó: BFKC là hình bình hành
Suy ra: FE//BC(ĐPCM)
Cho tam giác. Qua trung điểm D của cạnh BC, kẻ đường thẳng song song với AB, nó cắt cạnh AC tại E. Qua E kẻ đường thẳng song song với BC, nó cắt AB tại F. Chứng minh ΔCDE = ΔEFA. Từ đó suy ra E là trung điểm của cạnh AC.
+)Xét tam giác BDF và ∆EFD có:
DF chung
∠BDF = ∠DFE ( hai góc so le trong; BC// EF)
∠BFD = ∠FDE ( hai góc so le trong; DE// AB)
Suy ra:∆ BDF = ∆EFD (g.c.g)
Suy ra BD = EF. Theo giả thiết, D là trung điểm của BC nên CD = DB = EF.
+) Xét ∆ CDE và ∆ EFA có :
CD = EF ( chứng minh trên)
∠(CDE) = ∠(EFA) = ∠(CBA)
∠(ECD) = ∠(AEF) (các góc đồng vị).
Suy ra: ∆ CDE = ∆ EFA ( g.c.g)
Suy ra CE = EA nên E là trung điểm của CD.
Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < Ac ) có I là trung điểm của cạnh AC. Qua c kẻ đường thẳng song song với đường thằng AB, đường thằng này cắt tia BI tại D.
a) Chứng mình tam giác ABI = tam giác CDI và suy ra tứ giác ABCD là hình bình hành
b) Qua I kẻ đường thẳng IK // AB ( K thuộc BC ). Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ K xuống cạnh AB. Chứng minh AK = IH
c) Gọi G là giao điểm của AK và BD. Chứng mình H,G,C thẳng hàng
a:
AB\(\perp\)AC
AB//CD
Do đó: CA\(\perp\)CD
Xét ΔABI vuông tại A và ΔCDI vuông tại C có
IA=IC
\(\widehat{AIB}=\widehat{CID}\)
Do đó:ΔABI=ΔCDI
=>AB=CD và IB=ID
Xét tứ giác ABCD có
AB//CD
AB=CD
Do đó: ABCD là hình bình hành
b: HK\(\perp\)AB
AC\(\perp\)AB
Do đó: HK//AC
Xét tứ giác AHKI có
AH//KI
AI//HK
Do đó: AHKI là hình bình hành
mà \(\widehat{IAH}=90^0\)
nên AHKI là hình chữ nhật
=>AK=HI
Cho tam giác ABC , đường trung tuyến AM.Qua điểm D thuộc cạnh BC,vẽ đường thẳng song song với AM,cắt AB và AC theo thứ tự ở E và F
a, Chứng minh rằng khi điểm D chuyển động trên cạnh BC thì tổng DE+DF có giá trị không đổi
b, Qua A vẽ đường thẳng song song với BC,cắt EF ở K.Chứng minh rằng K là trung điểm của EF
BÀI 1: Cho tam giác ABC có D, E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, BC. Chứng minh BDEF là hình bình hành và suy ra
BÀI 2: Cho hình bình hành ABCD (AB < CD). Tia phân giác của góc A cắt BC tại I, tia phân giác góc C cắt AD tại K. Chứng minh: AICK là hình bình hành.
BÀI 3: Cho tam giác ABC. Đường thẳng qua B song song với AC cắt đường thẳng qua C song song với AB ở D.
a) Chứng minh rằng tư giác ABDC là hình bình hành.
b) Gọi M là trung điểm cạnh BC. Chứng minh rằng ba điểm A, M, D thẳng hàng.
Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R, dây CD vuông góc với OA tại trung điểm M của OA. Tieeso tuyến tại C của (O) cắt OA tại N.
a) Chứng minh tứ giác ACOD là hình thoi. Tính số đo góc COA và độ dài CN theo R.
b) Vè đường tròn tâm D bán kính DM cắt đường tròn (O) tại E và F. Vẽ đường kính DP của (O), DP cắt BC tại I và cắt FE tại H. Chứng minh I là trung điểm BC và BC song song với FE.
c) Gọi K là trung điểm DM. Chứng minh E, K, F thẳng hàng.
mọi người cho mình xin câu b ý 2 và câu c thôi ạ, mình cảm ơn nhiều
Các bạn cho mình hỏi còn cách nào để chứng minh hai câu này ngoài cách của sgk không nếu có thì các bạn giải hộ mình nhé thanks nhiều
chứng minh trong tam giác đường thẳng đi qua trung điểm cạch thứ nhất và song song cạnh với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba
chứng minh Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
Mong các bạn giải nhanh để mình làm bài tks
Đề bài minh hoạ:
Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh AB. Đường thẳng đi qua M song song với cạnh BC và cắt cạnh AC tại điểm N. Chứng minh {\displaystyle NA=NC}.
Chứng minh định lý:
Từ M vẽ tia song song với AC, cắt BC tại F. Tứ giác MNCF có hai cạnh MN và FC song song nhau nên là hình thang. Hình thang MNCF có hai cạnh bên song song nhau nên hai cạnh bên đó bằng nhau (theo tính chất hình thang): {\displaystyle MF=NC} (1)
Xét hai tam giác BMF và MAN, có: {\displaystyle {\widehat {\rm {MBF}}}={\widehat {\rm {AMN}}}} (hai góc đồng vị), {\displaystyle BM=MA} và {\displaystyle {\widehat {\rm {BMF}}}={\widehat {\rm {MAN}}}} (hai góc đồng vị). Suy ra {\displaystyle \triangle BMF=\triangle MAN} (trường hợp góc - cạnh - góc), từ đó suy ra {\displaystyle MF=AN} (2)
Từ (1) và (2) suy ra {\displaystyle NA=NC}. Định lý được chứng minh.
Định lý 2
Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và dài bằng nửa cạnh ấy.[2]
Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh AB và N là trung điểm cạnh AC ({\displaystyle MA=MB} và {\displaystyle NA=NC}). Chứng minh {\displaystyle {\overline {MN}}\parallel {\overline {BC}}} và {\displaystyle MN={\frac {1}{2}}BC}.
Chứng minh định lý:
Kéo dài đoạn MN về phía N một đoạn NF có độ dài bằng MN. Nhận thấy: {\displaystyle \triangle ANM=\triangle CNF} (trường hợp cạnh - góc - cạnh)
suy ra {\displaystyle {\widehat {\rm {MAN}}}={\widehat {\rm {NCF}}}}. Hai góc này ở vị trí so le trong lại bằng nhau nên {\displaystyle {\overline {CF}}\parallel {\overline {MA}}} hay {\displaystyle {\overline {CF}}\parallel {\overline {BA}}}. Mặt khác vì hai tam giác này bằng nhau nên {\displaystyle CF=MA}, suy ra {\displaystyle CF=MB} (vì {\displaystyle MA=MB}). Tứ giác BMFC có hai cạnh đối BM và FC vừa song song, vừa bằng nhau nên BMFC là hinh binh hanh, suy ra {\displaystyle {\overline {MF}}\parallel {\overline {BC}}} hay {\displaystyle {\overline {MN}}\parallel {\overline {BC}}}. Mặt khác, {\displaystyle MN=NF={\frac {1}{2}}MF}, mà {\displaystyle MF=BC} (tính chất hình bình hành), nên {\displaystyle MN={\frac {1}{2}}BC}. Định lý được chứng minh.
D/L: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.
ta lay vd 1 de bai de chung minh:
Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh AB. Đường thẳng đi qua M song song với cạnh BC và cắt cạnh AC tại điểm N. Chứng minh {\displaystyle NA=NC}
ta chung minh dinh ly
Từ M vẽ tia song song với AC, cắt BC tại F. Tứ giác MNCF có hai cạnh MN và FC song song nhau nên là hình thang. Hình thang MNCF có hai cạnh bên song song nhau nên hai cạnh bên đó bằng nhau (theo tính chất hình thang): {\displaystyle MF=NC} (1)
Xét hai tam giác BMF và MAN, có: {\displaystyle {\widehat {\rm {MBF}}}={\widehat {\rm {AMN}}}} (hai góc đồng vị), {\displaystyle BM=MA} và {\displaystyle {\widehat {\rm {BMF}}}={\widehat {\rm {MAN}}}} (hai góc đồng vị). Suy ra {\displaystyle \triangle BMF=\triangle MAN} (trường hợp góc - cạnh - góc), từ đó suy ra {\displaystyle MF=AN} (2)
Từ (1) và (2) suy ra {\displaystyle NA=NC}. ( dieu phai chung minh )
D/L : Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và dài bằng nửa cạnh ấy
VD : Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh AB và N là trung điểm cạnh AC ( và ). Chứng minh và
chung minh dinh li
Kéo dài đoạn MN về phía N một đoạn NF có độ dài bằng MN. Nhận thấy: {\displaystyle \triangle ANM=\triangle CNF} (trường hợp cạnh - góc - cạnh)
suy ra {\displaystyle {\widehat {\rm {MAN}}}={\widehat {\rm {NCF}}}}. Hai góc này ở vị trí so le trong lại bằng nhau nên {\displaystyle {\overline {CF}}\parallel {\overline {MA}}} hay {\displaystyle {\overline {CF}}\parallel {\overline {BA}}}. Mặt khác vì hai tam giác này bằng nhau nên {\displaystyle CF=MA}, suy ra {\displaystyle CF=MB} (vì {\displaystyle MA=MB}). Tứ giác BMFC có hai cạnh đối BM và FC vừa song song, vừa bằng nhau nên BMFC là hình bình hành, suy ra {\displaystyle {\overline {MF}}\parallel {\overline {BC}}} hay {\displaystyle {\overline {MN}}\parallel {\overline {BC}}}. Mặt khác, {\displaystyle MN=NF={\frac {1}{2}}MF}, mà {\displaystyle MF=BC} (tính chất hình bình hành), nên {\displaystyle MN={\frac {1}{2}}BC}
Các bạn cho mình hỏi còn cách nào để chứng minh hai câu này ngoài cách của sgk không nếu có thì các bạn giải hộ mình nhé thanks nhiều
chứng minh trong tam giác đường thẳng đi qua trung điểm cạch thứ nhất và song song cạnh với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba
chứng minh Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
Mong các bạn giải nhanh để mình làm bài tks
Cho hình ở trên, biết ABCD là hình thang (AB // CD). E là trung điểm của AD, qua E kẻ đường song song với 2 đáy và cắt AC tại I, cắt BC tại F. Chứng minh: a) I là trung điểm của AC. b) F là trung điểm của BC.
GIÚP MÌNH VỚI Ạ MÌNH CẢM ƠN
Xét tg DAC có: AE=ED (gt)
EI//DC( gt)
=> I td AC
Xét hình thang ABCD có EA=ED(gt)
EF//BC(EI//AB//DC)
=> F td BC