cho x,y>0 thõa mãn x+y=2 . Chứng minh rằng :
\(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\ge8\)
Những câu hỏi liên quan
Câu 1: Cho x,y là các số thực dương thõa mãn xy=1. Chứng minh rằng: \(\left(x+y+1\right)\left(x^2+y^2\right)+\frac{4}{x+y}\ge8\)
Câu hỏi của Tuấn Anh Nguyễn - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho các số thực x, y, z thõa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{\left(2+x\right)\left(2+\frac{1}{y}\right)}+\frac{1}{\left(2+y\right)\left(2+\frac{1}{z}\right)}+\frac{1}{\left(2+z\right)\left(2+\frac{1}{x}\right)}\le\frac{1}{3}\)
\(\Sigma\dfrac{a^2}{\left(2a+b\right)\left(2a+c\right)}=\Sigma\left(\dfrac{1}{9}.\dfrac{a^2\left(2+1\right)^2}{2a.\left(\Sigma a\right)+2a^2+bc}\right)\le\Sigma\left(\dfrac{1}{9}.\dfrac{4a^2}{2a\left(\Sigma a\right)}+\dfrac{1}{9}.\dfrac{a^2}{2a^2+bc}\right)\)
\(=\Sigma\left(\dfrac{1}{9}.\left(\dfrac{2a}{\Sigma a}+\dfrac{a^2}{2a^2+bc}\right)\right)=\dfrac{1}{9}\left(2+\Sigma\dfrac{a^2}{2a^2+bc}\right)\)
Cần chứng minh \(\Sigma\frac{a^2}{2a^2+bc}\le1\)
<=> \(\Sigma\frac{bc}{2a^2+bc}\ge1\) (*)
Đặt (x;y;z) -------> \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\)
Suy ra (*) <=> \(\Sigma\frac{x^2}{x^2+2xy}\ge1\Leftrightarrow\frac{\Sigma x^2}{\Sigma x^2}\ge1\) (đúng)
Vậy \(\Sigma\frac{a^2}{2a^2+bc}\le1\)
Suy ra \(\Sigma\frac{a^2}{\left(2a+b\right)\left(2a+c\right)}\le\frac{1}{9}\left(2+\Sigma\frac{a^2}{2a^2+bc}\right)\le\frac{1}{9}\left(2+1\right)=\frac{1}{3}\)
Đẳng thức xảy ra <=> x = y = z = 1
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho x, y, z là các số thực dương thõa mãn xy + yz + zx = 1
a) Chứng minh rằng: \(1+x^2=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)
b) Tính giá trị biểu thức P = \(x\sqrt{\frac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{1+x^2}}+y\sqrt{\frac{\left(1+z^2\right)\left(1+x^2\right)}{1+y^2}}+z\sqrt{\frac{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}{1+z^2}}\)
a) Ta có : \(1+x^2=xy+yz+zx+x^2=x\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)=\left(x+y\right)\left(z+x\right)\)
b) \(\Sigma\left(x\sqrt{\dfrac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{1+x^2}}\right)=\Sigma\left(x\sqrt{\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right).\left(x+z\right)\left(y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\right)\)
\(=\Sigma\left(x\left(y+z\right)\right)=xy+xz+xy+yz+zx+zy=2\left(xy+yz+zx\right)=2\)
Đúng 1
Bình luận (0)
cho x, y là các số thực thỏa mãn x khác y , xy=1. chứng minh \(\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{\left(x-y\right)^2}\ge8\)
Xem thêm câu trả lời
11 tháng 9 2017 lúc 20:01
Cho x,y,z khác 0 thõa mãn x+y+z=0 . Chứng mình rằng :
\(\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}}=\left|\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right|\)
xét bình phương biểu thức trong dấu giá tri tuyetj đối
Đúng 0
Bình luận (0)
Bình phường hai vế lên ta có :
\(\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}}^2=\left|\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right|^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=\left|\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right|^2\)
Xét: \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2.\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)\)
mà \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=\frac{z+x+y}{xyz}=0\)
\(\Rightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}}=\left|\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right|\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho x và y là hai số khác 0 và thỏa mãn x+y khác 0. Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{\left(x+y\right)^3}\left(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}\right)+\frac{3}{\left(x+y\right)^4}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)+\frac{6}{\left(x+y\right)^5}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{x^3y^3}\)
Cho x,y là các số khác 0 và thõa mãn: \(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}+2\left(x+y\right)-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)-\frac{2}{xy}=4\) tính S=x+y
1) Cho x, y, z > 0 thỏa mãn \(xyz-\frac{16}{x+y+z}=0\)
Chứng minh rằng: \(\left(x+y\right)\left(x+z\right)\ge8\)
2) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 1
Chứng minh rằng \(b+c\ge16abc\)
cho 2 số dương x: y. chứng minh rằng \(\left(x+\frac{2}{y}\right)\left(\frac{y}{x}+2\right)\ge8\)
Ta có \(A=\left(x+\frac{2}{y}\right)\left(\frac{y}{x}+2\right)\)
\(=y+\frac{2}{x}+2x+\frac{4}{y}\ge2\sqrt{y.\frac{4}{y}}+2\sqrt{\frac{2}{x}.2x}=8\)
Vậy Cái Đề
Đúng 0
Bình luận (0)