Question

cho x,y>0 thõa mãn x+y=2 . Chứng minh rằng : 

\(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\ge8\)

Answer 1

Áp dụng bđt AM-GM ta có:

\(x+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{x.\frac{1}{x}}=2\)

\(\Rightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^2\ge4\)

CMTT \(\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\ge4\)

\(\Rightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\ge4\left(dpcm\right)\)

Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=1\)

Answer 2

bđt AM-GM là j ?

Answer 3

๛Ŧɦượйǥ❖Ŧą๓❖Ąкąʑąツ         

có thể gọi là Cô si đó

Answer 4

tui chưa học

Answer 5

Cách khác nè :))

Ta có : \(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\ge2\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(y+\frac{1}{y}\right)\)

\(=2\left(xy+\frac{1}{xy}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge2\left(2+2\right)=8\) ( Dùng Cô si trong ngoặc là ra )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=1\)

Answer 6

Bạn chứng minh thêm bài toán phụ : Tổng nghịch đảo hai số luôn lớn bằng 2 với 2 số đó là dương

Giả sử cần chứng minh \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\left(a,b>0\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\) ( luôn đúng )

Dấu "=" xảy ra khi a=b.

Answer 7

\(VT-VP=\frac{\left(x^2y^2+1\right)\left(x-y\right)^2+2xy\left(xy-1\right)^2}{x^2y^2}\ge0\) (qed.)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=1\)