\(3=x^2+y^2+z^2\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\)

\(\Rightarrow xyz\le1\)

\(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}+\sqrt[3]{z^2}\le\frac{x^2+1+1}{3}+\frac{y^2+1+1}{3}+\frac{z^2+1+1}{3}=3\)

Ta co:

\(A=\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}=\frac{x\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{xyz}}+\frac{y\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{xyz}}+\frac{z\sqrt[3]{z}}{\sqrt[3]{xyz}}\)

\(\ge x\sqrt[3]{x}+y\sqrt[3]{y}+z\sqrt[3]{z}\)

\(\Rightarrow3A\ge3\left(x\sqrt[3]{x}+y\sqrt[3]{y}+z\sqrt[3]{z}\right)\ge\left(x\sqrt[3]{x}+y\sqrt[3]{y}+z\sqrt[3]{z}\right)\left(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}+\sqrt[3]{z^2}\right)\)

\(\ge\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Rightarrow A\ge xy+yz+zx\)

Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz, ta có: \(3\left(x^2+y^2+z^2\right)=\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Rightarrow x+y+z\le\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=3=x^2+y^2+z^2\)(Do \(x^2+y^2+z^2=3\))

Ta có: \(\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{zx}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}=\frac{x}{\sqrt[3]{yz.1}}+\frac{y}{\sqrt[3]{zx.1}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy.1}}\)

\(\ge\frac{x}{\frac{y+z+1}{3}}+\frac{y}{\frac{z+x+1}{3}}+\frac{z}{\frac{x+y+1}{3}}\)\(=\frac{3x}{y+z+1}+\frac{3y}{z+x+1}+\frac{3z}{x+y+1}\)

\(=\frac{3x^2}{xy+zx+x}+\frac{3y^2}{yz+xy+y}+\frac{3z^2}{zx+yz+z}\)\(\ge\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)+\left(x+y+z\right)}\)(Theo BĐT Cauchy - Schwarz dạng Engle)

\(\ge\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)+x^2+y^2+z^2}=\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=3=x^2+y^2+z^2\)

\(\ge xy+yz+zx\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1

\(\sqrt[3]{yz\cdot1}\le\frac{y+z+1}{3};\sqrt[3]{xz\cdot1}\le\frac{x+z+1}{3};\sqrt[3]{yx\cdot1}\le\frac{y+x+1}{3}\)

Nên \(A=\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge3\left(\frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{x+z+1}+\frac{z}{y+x+1}\right)\)\(=3\left(\frac{x^2}{xy+yz+x}+\frac{y^2}{xy+yz+y}+\frac{z^2}{yz+xz+z}\right)=B\)

\(B\ge\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)+x+y+z}\ge\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)+x^2+y^2+z^2}=\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=3\ge xy+yz+zx\)

do \(\left(x+y+z\right)^2\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)=9\Rightarrow x+y+z\le3=x^2+y^2+z^2;xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2=3\)

Uầy đề sai đâu ta

\(A=\sqrt{\frac{yz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\sqrt{\frac{xy}{\left(y+z\right)\left(x+y\right)}}+\sqrt{\frac{xz}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\)

Áp dụng bđt AM-GM ta có

\(A\le\frac{y}{x+y}+\frac{z}{x+z}+\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+z}=3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{\frac{2020}{3}}\)

Cứ tưởng áp dụng Cô si cho 2 tổng ở mẫu thôi :) quên là còn áp dụng như này :) nhưng bạn còn sai 1 chỗ nhé 

\(\sqrt{a.b}\le\frac{a}{2}+\frac{b}{2}.\) MaxA =3/2 :v

ờ haaa :P đôi lúc lú lẫn

Sorry ha

Học tốt!!!!!!!

sao co ten giong minh qua

thay 2016=xy+yz+xz vào các mẫu 
dùng Cô-Si đảo vào từng phân số 
sẽ dễ dàng chứng minh đc :D

Ta có

\(\sqrt{\frac{yz}{x^2+2016}}=\sqrt{\frac{yz}{x^2+yz+xy+xz}}\)

                              =\(\sqrt{\frac{yz}{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}}\)\(\le\frac{1}{2}.\frac{y}{x+y}+\frac{1}{2}.\frac{z}{x+z}\)

Tương tự \(\sqrt{\frac{xy}{y^2+2016}}\le\)\(\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y+x}+\frac{y}{y+z}\right)\)

              \(\sqrt{\frac{xz}{z^2+2016}}\le\)\(\frac{1}{2}\left(\frac{x}{z+x}+\frac{z}{z+y}\right)\)

=> \(VT\)\(\le\)\(\frac{1}{2}\)(\(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x+y}+\frac{x}{x+z}+\frac{z}{x+z}\)+\(\frac{y}{y+z}+\frac{z}{y+z}\))

                       =\(\frac{3}{2}\)(\(ĐPCM\))

Ta có: \(P=\frac{\sqrt{yz}}{x+2\sqrt{yz}}+\frac{\sqrt{zx}}{y+2\sqrt{zx}}+\frac{\sqrt{xy}}{z+2\sqrt{xy}}=\frac{1}{\frac{x}{\sqrt{yz}}+2}+\frac{1}{\frac{y}{\sqrt{zx}}+2}+\frac{1}{\frac{z}{\sqrt{xy}}+2}\)

Đặt \(\frac{x}{\sqrt{yz}}=c,\frac{y}{\sqrt{zx}}=t;\frac{z}{\sqrt{xy}}=k\left(c,t,k>0\right)\)thì ctk = 1

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của \(P=\frac{1}{c+2}+\frac{1}{t+2}+\frac{1}{k+2}\)với ctk = 1

Dự đoán MaxP = 1 khi c = t = k = 1

Thật vậy: \(P=\frac{kt+2k+2t+4+ct+2c+2t+4+ck+2c+2k+4}{\left(c+2\right)\left(t+2\right)\left(k+2\right)}=\frac{\left(kt+tc+ck\right)+4\left(c+t+k\right)+12}{ctk+2\left(kt+tc+ck\right)+4\left(c+t+k\right)+8}\le\frac{\left(kt+tc+ck\right)+4\left(c+t+k\right)+12}{1+\left(kt+tc+ck\right)+3\sqrt[3]{\left(ctk\right)^2}+4\left(c+t+k\right)+8}=1\)Đẳng thức xảy ra khi x = y = z

Ta có: \(\frac{\sqrt{yz}}{x+2\sqrt{yz}}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{x}{x+2\sqrt{yz}}\right)\le\frac{1}{2}\left(1-\frac{x}{x+y+z}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{y+z}{x+y+z}\right)\)(bđt cosi) (1)

CMTT: \(\frac{\sqrt{xz}}{y+2\sqrt{xz}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{x+z}{x+y+z}\right)\)(2)

\(\frac{\sqrt{xy}}{z+2\sqrt{xy}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{x+y}{x+y+z}\right)\)(3)

Từ (1), (2) và (3) cộng vế theo vế ta có:

\(\frac{\sqrt{yz}}{x+2\sqrt{yz}}+\frac{\sqrt{xz}}{y+2\sqrt{xz}}+\frac{\sqrt{xy}}{z+2\sqrt{xy}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{y+z}{x+y+z}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{x+z}{x+y+z}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{x+y}{x+y+z}\right)\)

=> P \(\le\frac{1}{2}\left(\frac{y+z+x+z+x+y}{x+y+z}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}=1\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z

Vậy MaxP = 1 <=> x = y = z

một bài khá hay :)

Ta có \(\frac{\sqrt{yz}}{x+2\sqrt{yz}}=1-\frac{x}{x+2\sqrt{yz}}\le1-\frac{x}{x+y+z}\left(1\right)\)

 Tương tự \(\frac{\sqrt{xz}}{y+2\sqrt{xz}}=1-\frac{y}{y+2\sqrt{xz}}\le1-\frac{y}{x+y+z}\left(2\right)\)

\(\frac{\sqrt{xy}}{z+2\sqrt{xy}}=1-\frac{z}{z+2\sqrt{xy}}\le1-\frac{z}{x+y+z}\left(3\right)\)

Cộng (1);(2);(3)

\(2P\le3-\frac{x+y+z}{x+y+z}=2\Rightarrow P\le1\)

Vậy \(minP=1\)Khi và chỉ khi \(x=y=z\)

đáp án

chia cả 2 vế của giả thiết cho xyz rồi đặt 1/x ; 1/y ; 1/z => a ; b ; c

đến đây thì tự làm tiếp đi 

Đặt \(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\rightarrow a,b,c\), ta có : \(a+b+c=1\)

Tìm min của \(A=\frac{ab}{\sqrt{5a^2+32ab+12b^2}}+\frac{bc}{\sqrt{5b^2+32bc+12c^2}}+\frac{ca}{\sqrt{5c^2+32ca+12a^2}}\)

đến đây thấy giống giống bài bất của HN năm nào ấy nhỉ ?

B1:x^2+2016=xy+yz+xz+x^2=...

tuong tu

y^2+2016=... ; z^2+2016=....

B2:bdt am-gm

ta có 3x + yz = x² + xy + yz + zx = (x+y)(x+z)

do đó:

\(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\frac{x\left(\sqrt{x^2+xy+yz+zx}-x\right)}{\left(\sqrt{x^2+xy+yz+zx}+x\right)\left(\sqrt{x^2+xy+yz+zx}-x\right)}\)

= \(\frac{x\left(\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}-x\right)}{xy+yz+zx}\le\frac{x\left(\frac{x+y+x+z}{2}-x\right)}{xy+yz+zx}\)\(\le\frac{x\left(y+z\right)}{2\left(xy+yz+zx\right)}\)

tương tự với 2 số hạng còn lại nên ta được: P\(\le\)1. đpcm

hi minh ket ban nhe

m.imgur.com/a/ls9dmpn

Cậu chịu khó đánh máy nhé ! Tớ dùng đt nên nhác phải đánh text lắm :(((

Cách mình ngắn hơn trên khá nhìu nha !!!!

Từ dữ kiện đề bài => x + y + z = xyz

Ta có : 

\(\frac{x}{\sqrt{yz\left(1+x^2\right)}}=\frac{x}{\sqrt{yz+xyz.x}}=\frac{x}{\sqrt{yz+x\left(x+y+z\right)}}=\frac{x}{\sqrt{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}}\)

                                                                                                                   \(=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+z}}.\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+y}}\le\frac{1}{2}.\left(\frac{x}{x+z}+\frac{x}{x+y}\right)\)

Tương tự với hai hạng tử còn lại , suy ra 

\(Q\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+z}+\frac{x}{x+y}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x+y}+\frac{y}{y+z}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{z+x}+\frac{z}{z+y}\right)=\frac{3}{2}\)

Vậy Max = 3/2 <=> x = y = z 

Nguồn : Đinh Đức Hùng