tìm các phân số có tử và mẫu dều dương sao cho tổng của phân số đó với nghịch đảo của nó có giá trị nhỏ nhất.
tìm các phân số có tử và mẫu dều dương sao cho tổng của phân số đó với nghịch đảo của nó có giá trị nhỏ nhất
a)Chứng minh rằng tổng của một phân số dương với nghịch đảo của nó không nhỏ hơn 2.
b) Tìm các phân số có tử và mẫu đều dương sao cho tổng của phân số đó với nghịch đảo của nó có giá trị nhỏ nhất.
a. Gọi phân số cần tìm là \(\frac{a}{b}\)
\(\Rightarrow\) Phân số nghịch đảo là \(\frac{b}{a}\)
Theo bài ra, ta có:
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-ab+b^2-ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow a\left(a-b\right)+b\left(b-a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a\left(a-b\right)-b\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)
Vì (a-b)2 chắc chắn lớn hơn hoặc bằng 0
\(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
Vậy tổng của một phân số dương với ghịch đảo của nó luôn lớn hơn hoặc bằng 2.
Tìm các phân số có tử và mẫu đều dương sao cho tổng của phân số đó với phân số nghịch đảo của nó có giá trị nhỏ nhất.
Trả lời:
gọi phân số cần tìm là a/b (a,b khác 0)
=> số nghịch đão của phân số này là b/a
Giả sử a>=b, đặt a=b+k (k>=0)
Ta có: \(\frac{a}{b}\)+ \(\frac{b}{a}\)= \(\frac{b+k}{b}\)+\(\frac{b}{b+k}\)= 1+ \(\frac{k}{b}\)+\(\frac{b}{b+k}\)\(\ge\)1+ \(\frac{k}{b+k}\)+\(\frac{b}{b+k}\)=1+ \(\frac{b+k}{b+k}\)=2
Ta thấy dấu bằng xảy ra khi k=0 => a=b => phân số cần tìm là a/b=1
Đáp số: phân số cần tìm là có tử số =mẫu số (a=b>0)
và Giá trị nhỏ nhất của phân số này với phân số nghịch đảo của nó=2
tìm các phân số có tử và mẫu đều dương sao cho tổng của phân số đó với nghịch đảo của nó có giá trị nhỏ nhất
Ta có \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}>\left(=\right)2\)
Đẻ mình chứng minh cho
Giả sử a>(=)b thì a=b+m
Thay vào ta có a/b+b/a=\(\frac{m}{b}+1+\frac{b}{b+m}\)>(=)\(\frac{m}{b+m}+1+\frac{b}{b+m}=2\)
Vậy là đã chứng minh được, để a/b+b/a nhỏ nhất thì a/b+b/a=2
=>a=b=1
tại sao a=b=1,a=b với mọi a và b là số dương vẫn được mà
Tìm các phân số có tử và mẫu đều là dương sao cho tổng của phân số đó với số nghịch đảo của nó có giá trị nhỏ nhất
Tìm các phân số có tử và mẫu đều dương sao cho tổng của phân số đó với số nghịch đảo của nó có giá trị nhỏ nhất
Tìm các phân số có tử và mẫu đều dương sao cho tổng của phân số đó với số nghịch đảo của nó có giá trị nhỏ nhất
Tìm các phân số có tử và mẫu đều dương sao cho tổng của nó và số nghịch đảo của nó có giá trị nhỏ nhất
Tìm các phân số có tử và mẫu đều dương Sao cho tổng các phân sô đó với số nghịch đảo của nó có giá trị như nhất