a+b+1 = 111..11_(2n) +444...44_(n) + 1 =111...11_(n).10ⁿ + 111...11_(n) +4.111..11_(n) +1

                                                       = 111...11_(n).(10ⁿ-1)  +6.111..11_(n) +1 

                                                      = 333...33²_(n) +2.333...33_(n) +1  = ( 333.....3_(n)+1)²   dpcm

Đặt 111....1<n chữ số 1> là k
Ta có: 111......1<2n chữ số 1>=k.10^n + k
Vì :10^n = 9k + 1
11......1<2n chữ số 1>= k.<9k + 1> +k = 9k^2+k+k = 9k^2 + 2k
Ta có 444........4<n chữ số 4>=4k
vậy a+b+1= 9k^2 +2k+4k+1 = <3k>^2 +2.3k.1 +1^2 = <3k +1>^2
Vậy a+b+1 là một số chính phương

Đặt 111....1<n chữ số 1> là k
Ta có: 111......1<2n chữ số 1>=k.10^n + k
Vì :10^n = 9k + 1
11......1<2n chữ số 1>= k.<9k + 1> +k = 9k^2+k+k = 9k^2 + 2k
Ta có 444........4<n chữ số 4>=4k
vậy a+b+1= 9k^2 +2k+4k+1 = <3k>^2 +2.3k.1 +1^2 = <3k +1>^2
Vậy a+b+1 là một số chính phương

mjn nghj rang chac mjn da tra loj sai roi

ta có: A=11..1  +    44..4+1

              2n c/s 1    n c/s 4

biến đổi \(A=111..1+4.11...1+1\)

\(A=\frac{10^{2n}-1}{9}+4.\frac{10^n-1}{9}+1=\frac{10^{2n}+4.10^n+4}{9}\)

\(A=\frac{\left(10^n+2\right)^2}{9}=\frac{\left(10..02\right)^2}{9}=\left(3...34\right)^2\)  luôn là 1 số chính phương(đpcm)

bn tự bổ sung thêm những chỗ mk viết thiếu'... chữ số' nhé

                                                         n-1 c/s 3

Ta có:

A + B + 1 = 1111...1 + 4444...4 + 1

                  (2n c/s 1)   (n c/s 4)

= 1111...1000...0 + 1111...1 + 1111...1.4 + 1

 (n c/s 1)(n c/s 0)   (n c/s 1)   (n c/s 1)

= 1111...1.1000...0 + 1111...1 + 1111...1.4 + 1

 (n c/s 1)  (n c/s 0)    (n c/s 1)   (n c/s 1)

= 1111...1.1000...05 + 1

 (n c/s 1)  (n-1 c/s 0)

= 1111...1.3.333...35 + 1

  (n c/s 1)  (n-1 c/s 3)

= 3333...3.333...35 + 1

  (n c/s 3)(n-1 c/s 3)

= 3333...3.333...34 + 3333...3 + 1

(n c/s 3) (n-1 c/s 3)    (n c/s 3)

= 3333...3.333...34 + 3333...34

  (n c/s 3)(n-1 c/s 3)   (n-1 c/s 3)

= 3333...34² là số chính phương (đpcm)

  (n-1 c/s 3)

A = 111...1000...0 + 111...1 - 222...2

     (n cs 1)(n cs 0)   (n cs 1)  (n cs 2)

\(A=111...1\cdot10^n+111...1-222...2\)

        (n cs 1)                       ( n cs 1 )      ( n cs 2 )

Đặt   K = 111...1  ( n cs 1 )   => 9K + 1 = 10^n

=> A = K( 9k + 1 ) + K - 2K

        = 9K^2 + K + K - 2K

        = 9K^2   = (3K)^2     

=> A là một số chính phương

B = 111...1000...0 + 111...1 +  444...4 + 1

    (n cs 1)(n cs 0)   (n cs 1)    (n cs 4)

\(\Rightarrow B=111...1\cdot10^n+111...1+444...4+1\)

                ( n cs 1 )                 ( n cs 1 )         ( n cs 4 )

Đặt   K = 111...1   ( n cs 1 )         => 9K + 1 = 10^n

=> B = K( 9K + 1 ) + K + 4K + 1

         = 9K^2 + 6K + 1

         = ( 3K + 1 ) ^2

=> B là một số chính phương

b) \(N=444.....44448888.....8889\) (n số 4 và n-1 số 8)

\(N=444.....44448888.....8888+1\)(n số 4 và n số 8)

\(N=444.....4444.10^n+8888.....8888+1\) (n số 4 và n số 8)

\(N=4\times11....11.10^n+8\times11....11+1\)

Đặt t= 111.....11111 (n số 1)

\(\Rightarrow10^n=9t+1\)

\(N=4t\left(9t+1\right)+8t+1\)

\(N=36t^2+4t+8t+1\)

\(N=36t^2+12t+1=\left(6t+1\right)^2\)

suy ra N là số chính phương