Cho x>y>0 . Chứng minh x +\(\frac{1}{\left(x-y\right).y}\) lớn hơn hoặc = 3
Những câu hỏi liên quan
Cho x >y>0 . Chứng minh x +\(\frac{1}{\left(x-y\right).y}\) lớn hơn hoặc bằng 3
Cho x,y là các số thực lớn hơn 1. Chứng minh rằng:
\(\frac{\left(x^3+y^3\right)-\left(x^2+y^2\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\) lớn hơn hoặc bằng 8
Cho x,y,z dương. Chứng minh \(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)lớn hơn hoặc bằng 9. Dấu = xảy ra khi nào
Nguyên trang bất đăng thức Bunhacoxki rồi.
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho x,y,z>0 thỏa mãn xy+yz+xz=xyz. CMR :
\(\frac{xy}{z^3\left(1+x\right)\left(1+y\right)}+\frac{yz}{X^3\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\frac{xz}{y^3\left(1+z\right)\left(1+x\right)}\) lớn hơn hoặc bằng \(\frac{1}{16}\)
Help me ... Plzzz
\(xy+yz+zx=xyz\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
Đặt \(\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c\) thì
\(\hept{\begin{cases}a+b+c=1\\P=\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\ge\frac{1}{16}\end{cases}}\)
Ta co:
\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{1+b}{64}+\frac{1+c}{64}\ge\frac{3a}{16}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge\frac{3a}{16}-\frac{b}{64}-\frac{c}{64}-\frac{1}{32}\)
Từ đây ta co:
\(P\ge\left(a+b+c\right)\left(\frac{3}{16}-\frac{1}{64}-\frac{1}{64}\right)-\frac{3}{32}=\frac{1}{16}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Rút gọna.left(2sqrt{x}+sqrt{2x}right)left(sqrt{x}-sqrt{2x}right)b. left(sqrt{3x}+sqrt{2x}right)left(3sqrt{x}-sqrt{6x}right)c.left(frac{4}{3}sqrt{3}+sqrt{2}sqrt{3frac{1}{3}}right)left(sqrt{1,2}+sqrt{2}-4sqrt{frac{1}{3}}right)-2d.left(2sqrt{x}+sqrt{y}right)left(3sqrt{x}-2sqrt{y}right)(x,y lớn hơn hoặc bằng 0)e.left(sqrt{x}+sqrt{y}right)left(x-sqrt{x}sqrt{y}+sqrt{y}right) (x,y lớn hơn hoặc bằng 0)
Đọc tiếp
Rút gọn
a.\(\left(2\sqrt{x}+\sqrt{2x}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{2x}\right)\)
b. \(\left(\sqrt{3x}+\sqrt{2x}\right)\left(3\sqrt{x}-\sqrt{6x}\right)\)
c.\(\left(\frac{4}{3}\sqrt{3}+\sqrt{2}\sqrt{3\frac{1}{3}}\right)\left(\sqrt{1,2}+\sqrt{2}-4\sqrt{\frac{1}{3}}\right)-2\)
d.\(\left(2\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(3\sqrt{x}-2\sqrt{y}\right)\)(x,y lớn hơn hoặc bằng 0)
e.\(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x-\sqrt{x}\sqrt{y}+\sqrt{y}\right)\) (x,y lớn hơn hoặc bằng 0)
Cho x,y lớn hơn 0 thỏa mãn x + y = 2. Chứng minh \(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2\)+ \(\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2\)≥ 8
Theo bđt AM-GM
\(x+\dfrac{1}{x}\ge2\sqrt{\dfrac{x.1}{x}}=2\Rightarrow\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2\ge4\)
\(y+\dfrac{1}{y}\ge2\sqrt{\dfrac{y.1}{y}}=2\Rightarrow\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge4\)
Cộng vế với vế ta có đpcm
Dấu ''='' xảy ra khi x = y = 1
Đúng 5
Bình luận (0)
Cho x>0, y>0,z>0,xyz=1. CMR \(P=\frac{x^2\left(y+z\right)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{y^2\left(z+x\right)}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{z^2\left(x+y\right)}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\) lớn hơn hoặc bằng 2
Áp dụng BĐT Cô si ta có:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}=2\cdot\frac{1}{\sqrt{z}};y+z\ge2\sqrt{yz}=2\cdot\frac{1}{\sqrt{x}};z+x\ge2\sqrt{xz}=2\cdot\frac{1}{\sqrt{y}}.\)( vì xyz=1)
=> P\(\ge\)\(\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}\)+ \(\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}a=y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}\\b=z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}\\c=x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}\end{cases}\left(a;b;c\ge0\right)}\)<=> \(\hept{\begin{cases}4a+b=2c+9z\sqrt{z}\\4b+c=2a+9x\sqrt{x}\\4c+a=2b+9y\sqrt{y}\end{cases}}\)
<=> \(\hept{\begin{cases}z\sqrt{z}=\frac{4a+b-2c}{9}\\x\sqrt{x}=\frac{4b+c-2a}{9}\\y\sqrt{y}=\frac{4c+a-2b}{9}\end{cases}}\)
Do đó:
P \(\ge\)\(\frac{2}{9}\cdot\left(\frac{4a+b-2c}{c}+\frac{4b+c-2a}{a}+\frac{4c+a-2b}{b}\right)\)
<=> P \(\ge\)\(\frac{2}{9}\left(4\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}\right)-6\right)\)
<=> P \(\ge\frac{2}{9}\cdot\left(4\cdot3\cdot\sqrt[3]{\frac{a}{c}\cdot\frac{b}{a}\cdot\frac{c}{b}}+3\cdot\sqrt[3]{\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}\cdot\frac{a}{b}}-6\right)\)( Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số ko âm)
<=> P \(\ge\frac{2}{9}\left(12+3-6\right)=2\)( đpcm)
Dấu = khi x=y=z=1.
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho các số thực x,y (x+y khác 0). CMR \(x^2+y+\frac{\left(1+xy^2\right)}{\left(x+y^2\right)}\) lớn hơn hoặc bằng 2
voi moi x, y, z >0. CM \(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)luôn lớn hơn hoặc = 9
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}\)
Nhân theo vế 2 BĐT trên ta có:
\(VT\ge3^2\cdot\sqrt[3]{xyz\cdot\frac{1}{xyz}}=9=VP\)
Xảy ra khi \(a=b=c\)
Đúng 0
Bình luận (0)