Chox,y,z>0,x+y+Z=2.Tim GTNN cua P=\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\)
Những câu hỏi liên quan
cho x,y,z>0 va x+y+z=3.Tim GTNN cua
a) P=\(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{1}{z^2+1}\)
b) G=\(\frac{x^2}{x+2y^3}+\frac{y^2}{y+2z^3}+\frac{z^2}{z+2x^3}\)
cho x,y,z la cac so thuc thoa x+y+z=0, x+1>0, y+1>0, z+1>0. tim GTLN cua P=\(\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+4}\)
cho x,y,z,t la cac so duong. tim GTNN cua A=\(\frac{x-t}{t+y}+\frac{t-y}{y+z}+\frac{y-z}{z+x}+\frac{z-x}{x+t}\)
Cho x,y,z>0 va x+y+z \(\le\)3.Tim GTNN cua P=\(x^2+y^2+z^2+\frac{20}{x+y+z}\)
Cho x,y,z>0 va xyz=1. Tim Min cua \(P=\frac{x^2\left(y+z\right)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{y^2\left(z+x\right)}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{z^2\left(x+y\right)}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
cho x,y,z >0. tim gtnn
\(P=\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2xz}+\)\(\frac{z^2}{z^2+2xy}\)
Áp dụng bdt Cauchy - Schwarz dạng phân thức ta có :
\(P=\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2xz}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2yz+2xz+2xy}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Chox,y,z là số dương. xyz=1
\(\frac{1}{x^2-xy+y^2}+\frac{1}{y^2-yz+z^2}+\frac{1}{z^2-zx+x^2}< =x+y+z\)
Dễ có: \(x^2+y^2\ge2xy\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)
\(\frac{1}{x^2-xy+y^2}=\frac{xyz}{x^2-xy+y^2}\le\frac{xyz}{2xy-xy}=z\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta có:
\(VT\le x+y+z=VP\)
Dấu "=" khi x=y=z=1
Đúng 0
Bình luận (0)
cho x,y,z>0 va thoa man x+y+z=1. Tim GTNN cua F= 14(x2 +y2 +z2 ) +\(\frac{xy+yz+zx}{x^2y+y^2z+z^2x}\)
cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x,y,z>0 thỏa mãn x(x-z)+y(y-z) =0 tìm GTNN của \(P=\frac{x^3}{x^2+z^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{x^2+y^2+4}{x+y}\)
\(x\left(x-z\right)+y\left(y-z\right)=0\)\(\Leftrightarrow\)\(x^2+y^2=z\left(x+y\right)\)
\(\frac{x^3}{z^2+x^2}=x-\frac{z^2x}{z^2+x^2}\ge x-\frac{z^2x}{2zx}=x-\frac{z}{2}\)
\(\frac{y^3}{y^2+z^2}=y-\frac{yz^2}{y^2+z^2}\ge y-\frac{yz^2}{2yz}=y-\frac{z}{2}\)
\(\frac{x^2+y^2+4}{x+y}=\frac{z\left(x+y\right)+4}{x+y}=z-x-y+\frac{4}{x+y}+x+y\ge z-x-y+4\)
Cộng lại ra minP=4, dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Cho x, y, z > 0 thỏa x+y+z=2. Tìm GTNN của
\(G=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\)
Áp dụng bđt \(\frac{a^2}{m}+\frac{b^2}{n}+\frac{c^2}{p}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{m+n+p}\) được
\(G\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}=\frac{2}{2}=1\)
\(G\ge1\Rightarrow MinG=1\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z>0\\x+y+z=2\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=z=\frac{2}{3}\)
Đúng 0
Bình luận (0)