a) Ta có : \(\frac{HA'}{AA'}=\frac{S_{HA'C}}{S_{AA'C}}=\frac{S_{BHA'}}{S_{AA'B}}=\frac{S_{HA'C}+S_{BHA'}}{S_{AA'B}+S_{AA'C}}=\frac{S_{BHC}}{S_{ABC}}\)

Tương tự : \(\frac{HB'}{BB'}=\frac{S_{AHC}}{S_{ABC}};\frac{HC'}{CC'}=\frac{S_{AHB}}{S_{ABC}}\)

\(\Rightarrow\frac{HA'}{AA'}+\frac{HB'}{BB'}+\frac{HC'}{CC'}=1\)

b) Ta có : \(\frac{AN}{BN}=\frac{AI}{BI}\)

mà \(\frac{AI}{CI}=\frac{AM}{BM}\Rightarrow AI=\frac{AM}{CM}.CI\)

\(\Rightarrow\frac{AN}{BN}=\frac{AM}{CM}.\frac{CI}{BI}\Rightarrow AN.CM.BI=BN.AM.CI\)

vẽ Cx \(\perp\)CC' ; vẽ D đối xứng với A qua Cx ; DA  giao điểm Cx tại I

\(\Rightarrow\)CD = AC và tam giác C'CIA là hình chữ nhật

\(\Rightarrow\)CC' = AI = ID ; \(\widehat{BAD}=90^o\)

Ta có BD \(\le\)BC + CD . Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\Delta BAD\)vuông tại A \(\Rightarrow\)AC = BC

\(\Rightarrow\)BD² \(\le\)( BC + CD )² 

\(\Delta BAD\)vuông tại A \(\Rightarrow\)BD² = AB² + AD²

\(\Rightarrow\)AB² + AD² \(\le\)( BC + AC )² 

\(\Rightarrow\)AD² \(\le\)( BC + AC )² - AB²

\(\Rightarrow\)4CC'² \(\le\)( BC + AC )² - AB²   . Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)AC = BC

tương tự , 4BB'² \(\le\) ( AB + BC )² - AC²    Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)AB = BC

4AA'² \(\le\)( AB + AC )² - BC²   Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)AB = AC

Suy ra : \(4\left(AA'^2+BB'^2+CC'^2\right)\le\left(AB+BC+AC\right)^2\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{\left(AB+BC+AC\right)^2}{AA'^2+BB'^2+CC'^2}\ge4\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)AB = BC = AC hay tam giác ABC đều

b)Do AI là phân giác

=>\(\frac{IB}{IC}=\frac{AB}{AC}\)

Do IN là phân giác=>\(\frac{AN}{BN}=\frac{AI}{BI}\)

Do IM là phân giác

=>\(\frac{CM}{AM}=\frac{CI}{AI}\)

=>\(\frac{BI}{CI}\cdot\frac{AN}{BN}\cdot\frac{CM}{AM}=\frac{AB}{AC}\cdot\frac{AI}{BI}\cdot\frac{CI}{AI}=\frac{AB}{AC}\cdot\frac{CI}{BI}=1\)

=>AN.BI.CM=BN.IC.AM

A=(\frac{m-1}{1}+...+\frac{m-(m-1)}{m-1}+\frac{m-m}{m})+(\frac{1}{m-1}+\frac{2}{m-2}+...+\frac{m-2}{2}+\frac{m-1}{1})

a/ Ta có: 

\(\frac{S_{HBC}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}.HA'.BC}{\frac{1}{2}.AA'.BC}=\frac{HA'}{AA'}\left(1\right)\)

Tương tự ta cũng có:

\(\hept{\begin{cases}\frac{S_{HAC}}{S_{ABC}}=\frac{HB'}{BB'}\left(2\right)\\\frac{S_{HAB}}{S_{ABC}}=\frac{HC'}{CC'}\left(3\right)\end{cases}}\)

Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow\frac{HA'}{AA'}+\frac{HB'}{BB'}+\frac{HC'}{CC'}=\frac{S_{HBC}}{S_{ABC}}+\frac{S_{HAC}}{S_{ABC}}+\frac{S_{HAB}}{S_{ABC}}=1\)

a, Có : HA'/AA' = HA'.BC/AA'.BC = S AHB + S AHC / S ABC

Tương tự : HB'/BB' = S BHA + S BHC / S ABC ; HC'/CC' = S CHA + S CHB / S ABC

=> HA'/AA' + HB'/BB' + HC'/CC' = 2.(S AHC + S AHB + S BHC)/S ABC = 2

Tk mk nha

a)

'

AA

'

HA

BC

'.

AA

.

2

1

BC

'.

HA

.

2

1

S

S

ABC

HBC





; (0,5đi

ể

m)

Tương t

ự

:

'

CC

'

HC

S

S

ABC

HAB



;

'

BB

'

HB

S

S

ABC

HAC



(0,5đi

ể

m)

1

S

S

S

S

S

S

'

CC

'

HC

'

BB

'

HB

'

AA

'

HA

ABC

HAC

ABC

HAB

ABC

HBC













(0,5đi

ể

m)

b) Áp d

ụ

ng tính ch

ấ

t phân giác vào các tam giác ABC,

ABI, AIC:

AI

IC

MA

CM

;

BI

AI

NB

AN

;

AC

AB

IC

BI







(0,5đi

ể

m )

AM

.

IC

.

BN

CM

.

AN

.

BI

1

BI

IC

.

AC

AB

AI

IC

.

BI

AI

.

AC

AB

MA

CM

.

NB

AN

.

IC

BI











(0,5đi

ể

m )

Ban vao trang Đề thi HSG Toán 8 cấp huyện năm 2016-2017 Phòng GD&ĐT Củ Chi

tự kẻ hình nha bạn

a, có \(\hept{\begin{cases}S_{HBC}=\frac{BC\cdot HA'}{2}\\S_{ABC}=\frac{BC\cdot AA'}{2}\end{cases}}\) \(\Rightarrow\frac{S_{HBC}}{S_{ABC}}=\frac{BC\cdot HA'}{2}\div\frac{BC\cdot AA'}{2}=\frac{HA'}{AA'}\)

có tương tự ta có \(\frac{S_{HAC}}{S_{ABC}}=\frac{HB'}{BB'}\)  và \(\frac{S_{HAB}}{S_{ABC}}=\frac{HC'}{CC'}\)

\(\Rightarrow\frac{S_{HAC}+S_{HBC}+S_{HAB}}{S_{ABC}}=\frac{HA'}{AA'}+\frac{HB'}{BB'}+\frac{HC'}{CC'}\)

\(\Rightarrow\frac{HA'}{AA'}+\frac{HB'}{BB'}+\frac{HC'}{CC'}=1\)

để mjnh làm tiếp câu b 

b, IN là pg của \(\widehat{AIB}\) (gt)

\(\Rightarrow\frac{NB}{IB}=\frac{NA}{AI}\) (tc)

\(\Rightarrow NB\cdot AI=IB\cdot NA\)

\(\Rightarrow NB\cdot AI\cdot CM=IB\cdot AN\cdot CM\left(1\right)\)

IM là pg của \(\widehat{AIC}\)  (gt)

\(\Rightarrow\frac{AM}{AI}=\frac{MC}{IC}\)

\(\Rightarrow AM\cdot IC=AI\cdot CM\)

\(\Rightarrow AM\cdot IC\cdot NB=AI\cdot CM\cdot NB\left(2\right)\)

\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow AN\cdot BI\cdot CM=BN\cdot CI\cdot AM\)

c) Bổ đề: Cho tam giác ABC có đường cao AH. Khi đó \(AH^2\le\dfrac{\left(AB+AC-CB\right)\left(AC+AB+BC\right)}{4}\).

Thật vậy, dựng hình chữ nhật AHCE. Lấy F đối xứng với C qua AF.

Ta có \(AH=CE=\dfrac{CF}{2}\).

Do đó \(CF^2+CB^2=BF^2\le\left(AB+AF\right)^2=\left(AB+AC\right)^2\Rightarrow CF^2\le\left(AB+AC-CB\right)\left(AC+AB+BC\right)\Rightarrow AH^2\le\dfrac{\left(AB+AC-CB\right)\left(AC+AB+BC\right)}{4}\).

Bổ đề được cm.

Áp dụng ta có \(\dfrac{\left(AB+BC+CA\right)^2}{AA'^2+BB'^2+CC'^2}\ge\dfrac{\left(AB+BC+CA\right)^2}{\dfrac{\left(AB+AC-CB\right)\left(AC+AB+BC\right)}{4}+\dfrac{\left(BC+BA-AC\right)\left(AC+AB+BC\right)}{4}+\dfrac{\left(BC+AC-AB\right)\left(AC+AB+BC\right)}{4}}=4\).

Vậy ta có đpcm.

a) Ta có \(\dfrac{HA'}{AA'}=\dfrac{HA'.BC}{AA'.BC}=\dfrac{2S_{HBC}}{2S_{ABC}}=\dfrac{S_{HBC}}{S_{ABC}}\).

Tương tự \(\dfrac{HB'}{BB'}=\dfrac{S_{HCA}}{S_{ABC}};\dfrac{HC'}{CC'}=\dfrac{S_{HAB}}{S_{ABC}}\).

Do đó \(\dfrac{HA'}{AA'}+\dfrac{HB'}{BB'}+\dfrac{HC'}{CC'}=\dfrac{S_{HBC}+S_{HCA}+S_{HAB}}{S_{ABC}}=1\).

b) Theo t/c đường phân giác ta có \(\dfrac{AN.BI.CM}{BN.CI.AM}=\dfrac{AN}{BN}.\dfrac{BI}{CI}.\dfrac{CM}{AM}=\dfrac{AI}{IB}.\dfrac{IB}{IC}.\dfrac{CI}{AI}=1\).

Ban vao trang nay:Đề thi HSG Toán 8 cấp huyện năm 2016-2017 Phòng GD&ĐT Củ Chi

Ban vao trang Đề thi HSG Toán 8 cấp huyện năm 2016-2017 Phòng GD&ĐT Củ Chi