Cho tam giác ABC nhọn không cân có đường tròn tâm I nội tiếp. Đường thẳng AI cắt BC tại D. Gọi E,F lần lượt là điểm đối xứng với D qua IC, IB.Chứng minh EF// BC.
Gọi \(E',F'\) lần lượt là điểm thuộc \(AB,AC\) sao cho \(BE'=BD,CF'=CD\).
Khi đó \(E'\) và \(D\) đối xứng qua \(IB\). Tương tự \(F'\) và \(D\) đối xứng qua \(IC\).
Suy ra \(E',F'\) lần lượt trùng với \(E,F\)
Đồng thời theo định lí Thales đảo: \(\frac{EB}{AB}=\frac{DB}{AB}=\frac{DC}{AC}=\frac{FC}{AC}\) nên \(EF\) song song \(BC\)
Hình:
Cho tam giác ABC có cạnh BC nhỏ nhất, đường tròn (I) nội tiếp tam giác và tiếp xúc ba cạnh BC,CA,AB lần lượt tại D,E,F. Gọi M,N lần lượt là hai điểm đối xứng của C,B qua E,F. Các đường thảng BM,CN cắt EF lần lượt tại K,L. Chứng minh rằng DK// và D thuộc trung trực của Kl
Cho tam giác ABC nhọn không cân nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn (J) bàng tiếp góc A tiếp xúc với các đường thẳng BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Gọi M là trung điểm của BC. Đường tròn đường kính MJ cắt DE tại điểm K khác D. Gọi D là giao điểm thứ hai của đường thẳng AD và (J) .
a) Chứng minh rằng bốn điểm B, D, K, D' cùng nằm trên một đường tròn.
b) Gọi G là giao của BC và EF, đường thẳng GJ cắt AB, AC lần lượt tại L và N. Lấy các điểm P, Q lần lượt trên các đường thẳng JB, JC sao cho \(\widehat{PAB}=\widehat{QAC}=90^o\). Các đường thẳng LP và NQ cắt nhau tại T. Gọi S là điểm chính giữa cung BAC của (O) và T là giao của AT với (O). Chứng minh rằng đường thẳng ST' đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
cho tam giác ABC, AB<AC và nội tiếp đường tròn (O). D là điểm đối xứng với A qua O. Tiếp tuyến với (O) tại D cắt BC tại E. Đường thẳng DE lần lượt cắt các đương thẳng AB, AC tại K,L. ĐƯơng thẳng qua A song song với EO cắt DE tại F. Đường thẳng qua song song với EO cắt DE tại F. ĐƯơng thẳng qua D song song với Eo lần lượt cắt AB,AC tại M,N. CMR
a. Tứ giác BCLK nội tiếp
b. Đương thẳng EF là tiếp tuyến của đương tròn ngoại tiếp tam giác BCF
c. D là trung điểm MN
cần giải gấp câu c
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). M là một điểm trên cung BC không chứa A. Gọi. D, E, F lần lượt là hình chiếu của M trên BC, AC và AB
a) Chứng minh rằng D, E, F thẳng hàng.
b) Gọi I, J, K lần lượt là các điểm đối xứng của M qua D, E, F. Chứng minh rằng I, J, K cùng thuộc một đường thẳng và đường thẳng đó đi qua trực tâm H của tam giác ABC.
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và I là điểm nằm trong tam giác. Tia AI,BI,CI cắt BC,CA,AB lần lượt tại D,E,F. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của AD,BE,CF. X,Y,Z thứ tự là hình chiếu của O lên EF,DE,DF. CMR: Đường tròn ngoại tiếp các tam giác XNP, YMP, ZMN đồng quy ?
Gọi giao điểm thứ hai của AZ,BZ,CZ với đường tròn (O) là S,T,R. Cho đường thẳng DF cắt các đoạn ST,RT lần lượt tại K,L. Gọi AK giao CL tại V. Gọi Q là trung điểm đoạn DF.
Trước hết, ta thấy: 5 điểm A,R,S,C,T cùng thuộc (O), AV cắt RT tại K, AS cắt CR ở Z, CV cắt ST ở L
Đồng thời có bộ điểm: (K Z L) thẳng hàng. Suy ra: Hệ điểm (A R V S C T) cùng thuộc 1 đường tròn (ĐL Pascal đảo)
Áp dụng ĐL Con Bướm cho 4 điểm A,B,S,T trên (O) thì có Z là trung điểm của FL. Mà P là trung điểm CF
Nên ZP là đường trung bình của \(\Delta\)FLC => ZP // CL. Tương tự: ZM // AK
Do đó: 2 góc ^MZP và ^AVC có 2 cặp cạnh song song => ^MZP = ^AVC = ^ABC (Do V thuộc (O) cmt)
Dễ thấy MQ là đường trung bình \(\Delta\)ADF => MQ // AB. Tương tự: QP // BC => ^MQP = ^ABC
Từ đó: ^MZP = ^MQP => Tứ giác MZQP nội tiếp đường tròn.
Nếu ta gọi trung điểm của DE,EF thứ tự là G,U thì như lập luận trên, các tứ giác NPUX, MYGN nội tiếp
Ta sẽ chứng minh các đường tròn (MPQ),(NPU),(MNG) đồng quy
Thật vậy: Gọi giao điểm thứ hai của (MPQ) và (NPU) là J => ^NJM = ^MJP + ^NJP = ^MQP + ^NUP
Bằng tính chất đường trung bình, góc có cặp cạnh song song dễ có:
^MQP = ^ABC, ^NUP = ^BAC => ^NJM = ^ABC + ^BAC = 1800 - ^ACB = ^MGN
Suy ra: Tứ giác MJNG nội tiếp => (MNG) cũng đi qua J => (MPQ),(NPU),(MNG) đồng quy
Hay 3 đường tròn (NPX),(YMN),(ZNP) đồng quy (tại J) (đpcm).
(P/S: Đề sai nhé, phải là (XNP),(YNM),(ZNP) đồng quy)
Cho tam giác ABC nhọn, đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB tại D và cắt AC tại E. Gọi D' ; E' lần lượt là điểm đối xứng của D;E qua O.C/m :
a/ Hình lục giác BDECD'E' nội tiếp đường tròn tâm O
b/H là trực tâm tam giác ABC.C/m HD.BD'= AD.BD
Cho tam giác ABC (AB<AC). Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với CA, AB lần lượt tại E, F. Gọi G, H là các điểm đối xứng cưa E, F qua I. Đường thẳng GH cắt IB, IC lần lượt tại P và Q; IB và IC lần lượt cắt EF tại K và L.
a, Chứng minh rằng tứ giác BKLC nội tiếp đường tròn
b, Chứng minh rằng I là trung điểm của BC
c, Giả sử B, C cố định, A thay đổi sao cho tỉ số AB/AC=k (không đổi). Chứng minh rằng đường trung trực của PQ luôn đi qua một điểm cố định.
Cho tam giác ABC, AB<AC. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A, B, C xuống BC, AC, AB. Gọi P là giao điểm của BC và EF. Đường thẳng qua D song song với EF lần lượt cắt các đường thẳng AB, AC, CF tại Q, R, S.
a) CMR BQCR nội tiếp đường tròn
b) CMR PB/PC = BD/CD và D là trung điểm của BC
c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua trung điểm của BC
