Lời giải:

Xét số hạng tổng quát:

\(\frac{2n+1}{[n(n+1)]^2}=\frac{1}{n(n+1)}.\frac{2n+1}{n(n+1)}=\frac{n+1-n}{n(n+1)}.\frac{n+(n+1)}{n(n+1)}\)

\(=\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}\right)=\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2}\)

Do đó:

\(S=\frac{3}{(1.2)^2}+\frac{5}{(2.3)^2}+....+\frac{2n+1}{[n(n+1)]^2}\)

\(=1-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2}\)

\(=1-\frac{1}{(n+1)^2}\)

\(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)-\left(k-1\right)k\left(k+1\right)=k\left(k+1\right)\left[\left(k+2\right)-\left(k-1\right)\right]=3k\left(k+1\right)\)

Công thức tinh tổng là : \(S=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)

\(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)-\left(k-1\right)k\left(k+1\right)=k\left(k+1\right)\left(k+2-k+1\right)=3k\left(k+1\right)\left(ĐPCM\right)\)

\(S=1.2+2.3+3.4+...+n\left(n+1\right)\)

3\(S=3\left[1.2+2.3+3.4+...+n\left(n+1\right)\right]\)

\(3S=1.2.3-0.1.2+2.3.4-1.2.3+...+n\left(n+1\right)\left(n+2\right)-\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)

3S=n(n+1)(n+2)

\(S=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)

Ribi Nkok Ngok''>

Gọi A=

4A=1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+n(n+1)(n+2)

=> 4A=1.2.3(4-0)+2.3.4(5-1)+...+n(n+1)(n+2)[(n+3)-(n-1)]

=1.2.3.4-0.1.2.3+2.3.4.5-1.2.3.4+...+n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1).n(n+1)(n+2)

=n(n+1)(n+2)(n+3)

=>

YNguyễn Thị Diễm QuỳnhHoàng Tử HàAkai Haruma

\(\Rightarrow S=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{9}+..+\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n+1^2}\)

\(\Rightarrow S=1-\frac{1}{n+1}\)

\(\Rightarrow S+\frac{n}{n+1}\)

??? Cái gì đây, đây là câu hỏi hay câu trả lời ???

rảnh ghê ta

Bài làm mà mấy thánh cứ vào phốt thế

đặt tổng này là S

ta có:

3S=3[1.2+2.3+...+(n-2)(n-1)+(n-1)n]

3S=1.2.3+2.3.3+...+(n-2)(n-1).3+(n-1)n.3

3S=1.2.(3-0)+2.3.(4-1)+...+(n-2)(n-1)[(n+3)-n]+(n-1).n.[(n-1)+(4-n)]

3S=1.2.3+2.3.4-1.2.3+...+(n-2)(n-1)(n+3)-(n-2)(n-1)n+n(n-1)+n(4-n)

3S=n(n-1)[(n-2)(n-1)(n+3)+n(4-n)]

S=n(n-1)[(n-2)(n-1)(n+3)+n(4-n)]:3

sorry, em mới học lớp 6 thi à

Mỗi lần bạn lên OLM là toàn đang những câu hỏi cực khó

em mới học lớp 6 thôi chưa đủ trình để làm bài này nha

xin lỗi, nếu biết em nhất đình sẽ trả lời

\(\dfrac{1}{1\cdot2}+\dfrac{1}{2\cdot3}+\dfrac{1}{3\cdot4}+...+\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}\)

= \(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\)

= 1 - \(\dfrac{1}{n+1}\) = \(\dfrac{n}{n+1}\)