\(3xy+x+15y-44=0\)

\(3y\left(x+5\right)+\left(x+5\right)-49=0\)

\(\left(x+5\right)\left(3y+1\right)=49\)

Vì x;y là số nguyên \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+5\in Z\\3y+1\in Z\end{cases}}\)

Có \(\left(x+5\right)\left(3y+1\right)=49\)

\(\Rightarrow\left(x+5\right)\left(3y+1\right)\in\text{Ư}\left(49\right)=\left\{\pm1;\pm7;\pm49\right\}\)

b tự lập bảng nhé~

\(\left(x+3y\right)^2\le\left(1+3^2\right)\left(x^2+y^2\right)=10\left(x^2+y^2\right)\)

\(\Rightarrow5\left(x^2+y^2\right)\ge\frac{1}{2}\left(x+3y\right)^2\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}\left(x+3y\right)^2-5\left(x+3y\right)+8\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+3y\right)^2-10\left(x+3y\right)+16\le0\)

\(\Rightarrow2\le x+3y\le8\)

\(\Rightarrow3\le x+3y+1\le9\)

\(4x^2+9y^2=1\) nha mn

Lời giải:

Áp dụng TCDTSBN:

$\frac{12x-15y}{7}=\frac{20z-12x}{9}=\frac{15y-20z}{11}=\frac{12x-15y+20z-12x+15y-20z}{7+9+11}=\frac{0}{27}=0$

$\Rightarrow 12x=15y; 20z=12x$

$\Rightarrow 12x=15y=20z$

$\Rightarrow \frac{12x}{60}=\frac{15y}{60}=\frac{20z}{60}$

$\Rightarrow \frac{x}{5}=\frac{y}{4}=\frac{z}{3}$

Tiếp tục áp dụng TCDTSBN:

$\frac{x}{5}=\frac{y}{4}=\frac{z}{3}=\frac{x+y+z}{5+4+3}=\frac{96}{12}=8$

$\Rightarrow x=8.5=40; y=8.4=32; z=3.8=24$

Đặt \(xy-12x+15y\)là (*)

Từ phương trình (1) ta có \(x^2-3xy+2y^2+x-y=0\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x-2y\right)+\left(x-y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x-2y+1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y\\x=2y-1\end{cases}}\)

Với \(x=y\)thay vào (2) ta có \(x^2-2x^2+x^2-5x+7x=0\Leftrightarrow x=0\Rightarrow x=y=0\)

Thay \(x=y=0\)vào (*) ta thấy 0.0-12.0+15.0=0(tm)

Với \(x=2y-1\Rightarrow\left(2y-1\right)^2-2\left(2y-1\right)y+y^2-5\left(2y-1\right)+7y=0\)

\(\Leftrightarrow4y^2-4y+1-4y^2+2y+y^2-10y+5+7y=0\)

\(\Leftrightarrow y^2-5y+6=0\Leftrightarrow\left(y-2\right)\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=2\\y=3\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=3\\x=5\end{cases}}}\)

Với \(x=3;y=2\)thay vào (*)  ta thấy \(3.2-12.3+15.0=0\left(tm\right)\)

Với \(x=5;y=3\)thay vào (*)  ta thấy \(5.3-12.5+15.3=0\left(tm\right)\)

Vậy .....

2314654564

Hơn 170 điểm đã  là CTV rồi 

\(x^6+\left(y^6+15y^4+75y^2+125\right)+z^3-3x^2y^2z-15x^2z=0\)

\(\Leftrightarrow x^6+\left(y^2+5\right)^3+z^3=3x^2\left(y^2+5\right)z\)

Ta có:

\(x^6+\left(y^2+5\right)^3+z^3\ge3\sqrt[3]{x^6\left(y^2+5\right)^3z^3}=3x^2\left(y^2+5\right)z\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

\(x^2=y^2+5=z\)

Từ \(x^2=y^2+5\Rightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)=5\)

\(\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(3;2\right)\Rightarrow z=9\)

Vậy có đúng 1 bộ số nguyên dương thỏa mãn pt:

\(\left(x;y;z\right)=\left(3;2;9\right)\)