→AD.KM+DM.AK=AM.DK→

Gọi giao của AC và BD là O, cạnh hình vuông là AB=a

=>AC=DB=a căn 2; \(OA=OB=OC=OD=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)

góc ADM=góc AKM=90 độ

=>AKMD nội tiếp

=>góc AKM=góc KDM=45 độ

=>ΔKAM vuông cân tại K

ΔADM vuông tại D

=>\(AM^2=AD^2+DM^2=\dfrac{5}{4}a^2\)

ΔAKM vuôg cân tại K

=>\(AM^2=2\cdot AK^2\)

=>\(2AK^2=\dfrac{5}{4}a^2\)

=>AK^2=5/8a^2

ΔAOK vuông tại O nên  OK^2=AK^2+AO^2

=>OK=a/2căn 2

=>DK=DO+OK=3/4*a*căn 2

=>DK/DB=3/4

a: Xét tứ giác ADBK có

M là trung điểm chung của AB và DK

=>ADBK là hình bình hành

=>AK=DB

mà DB=AC(ABCD là hình chữ nhật)

nên AK=AC

=>ΔAKC cân tại A

b: Xét ΔIAM có IE là phân giác

nên \(\dfrac{ME}{EA}=\dfrac{IM}{IA}\)

mà IA=IK

nên \(\dfrac{ME}{EA}=\dfrac{IM}{IK}\)

Xét ΔIMK có IF là phân giác

nên \(\dfrac{IM}{IK}=\dfrac{MF}{FK}\)

=>\(\dfrac{ME}{EA}=\dfrac{MF}{FK}\)

Xét ΔMAK có \(\dfrac{ME}{EA}=\dfrac{MF}{FK}\)

nên EF//AK

Ta có: EF//AK

AK//BD(AKBD là hình bình hành)

Do đó: EF//BD

a.

Xét tứ giác ADBK có: hai đường chéo AB và DK cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường

\(\Rightarrow ADBK\) là hình bình hành

Do ABCD là hình chữ nhật \(\Rightarrow AB\perp BC\Rightarrow AB\) là đường cao tam giác ACK

Theo cmt, ADBK là hbh \(\Rightarrow BK=AD\)

Mà \(AD=BC\) (ABCD là hcn)

\(\Rightarrow BK=BC\Rightarrow AB\) là trung tuyến tam giác ACK

\(\Rightarrow AB\) vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên tam giác ACK cân tại A

b.

Do IE là phân giác, áp dụng định lý phân giác trong tam giác IAM:

\(\dfrac{EM}{EA}=\dfrac{IM}{IA}\) (1)

Do IF là phân giác, áp dụng định lý phân giác trong tam giác IMK:

\(\dfrac{FM}{FK}=\dfrac{IM}{IK}\) (2)

Mà I là trung điểm AK \(\Rightarrow IA=IK\) (3)

(1);(2);(3) \(\Rightarrow\dfrac{EM}{EA}=\dfrac{FM}{FK}\Rightarrow EF||AK\) (định lý Talet đảo)

Theo c/m câu a do ADBK là hình bình hành \(\Rightarrow AK||BD\)

\(\Rightarrow EF||BD\)

a: Xét tứ giác ADKE có

AE//DK

AE=DK

góc EAD=90 độ

=>ADKE là hình chữ nhật

b: Xét tứ giác AECK có

AE//CK

AE=CK

=>AECK là hình bình hành

=>AK//EC

=>AK vuông góc DM

1: Xet ΔMDB vuông tại D và ΔNEC vuông tại E có

BD=CE
góc MBD=góc NCE

=.ΔMDB=ΔNEC

=>DM=EN

2: Xét tứ giác MDNE có

MD//NE

MD=NE

=>MDNE là hình bình hành

=>MN cắt DE tại trung điểm của mỗi đường và ME//ND

a: Sửa MN\(\perp\)CD tại N

Xét tứ giác AMND có

\(\widehat{MND}=\widehat{MAD}=\widehat{ADN}=90^0\)
=>AMND là hình chữ nhật

b: Xét tứ giác ADBK có

M là trung điểm chung của AB và DK

=>ADBK là hình bình hành

=>AK=BD

mà BD=AC(ABCD là hình chữ nhật)

nên AK=AC

=>ΔAKC cân tại A

c: Xét ΔMAI có IE là phân giác

nên \(\dfrac{ME}{EA}=\dfrac{MI}{IA}=\dfrac{MI}{IK}\left(1\right)\)

Xét ΔIMK có IF là phân giác

nên \(\dfrac{MF}{FK}=\dfrac{IM}{IK}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(\dfrac{ME}{EA}=\dfrac{MF}{FK}\)

Xét ΔMAK có \(\dfrac{ME}{EA}=\dfrac{MF}{FK}\)

nên EF//AK

mà AK//BD(AKBD là hình bình hành)

nên EF//BD