Tham khảo:

a) Áp dụng công thức \(S = \frac{1}{2}ac.\sin B\) cho tam giác ABC và BED, ta có:

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.BA.BC.\sin B;{S_{BED}} = \frac{1}{2}..BE.BD.\sin B\)

\( \Rightarrow \frac{{{S_{BED}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}.BE.BD.\sin B}}{{\frac{1}{2}.BA.BC.\sin B}} = \frac{{BE.BD}}{{BA.BC}}\)

b) Ta có: \(\cos B = \frac{{BD}}{{BA}} = \frac{{BE}}{{BC}}\)

Mà \(\frac{{{S_{BED}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{1}{9} \Rightarrow \frac{{BD}}{{BA}}.\frac{{BE}}{{BC}} = \frac{1}{9}\)

\( \Rightarrow \cos B = \frac{{BD}}{{BA}} = \frac{{BE}}{{BC}} = \frac{1}{3}\)

+) Xét tam giác ABC và tam giác DEB ta có:

\(\frac{{BE}}{{BC}} = \frac{{BD}}{{BA}} = \frac{1}{3}\) và góc B chung

\( \Rightarrow \Delta ABC \sim \Delta DEB\) (cgc)

\( \Rightarrow \frac{{DE}}{{AC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow AC = 3.DE = 3.2\sqrt 2  = 6\sqrt 2 .\)

Ta có: \(\cos B = \frac{1}{3} \Rightarrow \sin B = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\) (do B là góc nhọn)

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

\(\frac{{AC}}{{\sin B}} = 2R \Rightarrow R = \frac{{6\sqrt 2 }}{{\frac{{2\sqrt 2 }}{3}}}:2 = \frac{9}{2}\)

Qua I vẽ đường thẳng vuông góc với CI cắt AC. BC lần lượt tại M, N. Khi đó CM=CN, IM=IN.

Ta chứng minh được \(\widehat{AIB}=180-\widehat{BAI}-\widehat{ABI}=180-\frac{BAC}{2}-\frac{ABC}{2}=\frac{360-\left(ABC+BÃC\right)}{2}\)

\(=\frac{360-180+ACB}{2}=90+\frac{ACB}{2}\)

\(AMI=180-CMN=180-\frac{180-ACB}{2}=\frac{360-180+ACB}{2}=90+\frac{ACB}{2}\)

Chứng minh tương tự ta cũng có: \(BNI=90+\frac{ACB}{2}\)

Từ đó suy ra: \(\Delta AIB\infty\Delta AMI\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{AI}{AM}=\frac{AB}{AI}\Rightarrow AI^2=AB.AM\Rightarrow\frac{AI^2}{AB.AC}=\frac{AM}{AC}\) 

\(\Delta AIB\infty\Delta INB\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{BI}{IN}=\frac{AB}{BN}\Rightarrow BI^2=AB.BN\Rightarrow\frac{BI^2}{AB.BC}=\frac{BN}{BC}\)

\(\Delta AMI\infty\Delta INB\Rightarrow\frac{AM}{IN}=\frac{IM}{BN}\Rightarrow AM.BN=IM.IN=IM^2\)

Áp dụng định lí Py- ta-go vào tam gác ICM ta có:

\(IM^2+CI^2=CM^2\Rightarrow BN.AM+CI^2=CM.CN\Rightarrow BN.AM+CN.AM+CI^2=CM.CN+CN.AM\)

\(\Rightarrow BC.AM+CI^2=CN.AC\Rightarrow BC.AM+CI^2+AC.BN=CN.AC+AC.BN\)

\(\Rightarrow BC.AM+BN.AC+CI^2=AC.BC\Rightarrow\frac{AM}{AC}+\frac{BN}{BC}+\frac{CI^2}{AC.BC}=1\)

\(\Rightarrow\frac{AI^2}{AB.AC}+\frac{BI^2}{BA.BC}+\frac{CI^2}{CA.CB}=1\)

kẻ đường cao AH có: \(\frac{OA'}{AA'}=\frac{S_{BOC}}{S_{ABC}}\), ta có:

                                 \(\frac{OB'}{BB'}=\frac{S_{AOC}}{S_{ABC}}\)

                              \(\frac{OC'}{CC'}=\frac{S_{AOB}}{S_{ABC}}\)

\(\Rightarrow\frac{OA'}{AA'}+\frac{OB'}{BB'}+\frac{OC'}{CC'}=\frac{S_{BOC}+S_{AOC}+S_{AOB}}{S_{ABC}}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\) (đpcm)

Nguồn: HiệU NguyễN

Theo đề: \(P\)nằm trong \(\Delta\Rightarrow\widehat{APB}>\widehat{ACB}\)

Dựng góc: \(\widehat{ACx}=\widehat{APB}\), kéo dài \(AQ\)cắt \(Cx\)tại \(E\Rightarrow E\)nằm phía ngoài của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow\Delta CAE~\Delta PAB\)

\(\Rightarrow\frac{CA}{PA}=\frac{CE}{PB}=\frac{AE}{AB};\widehat{PAB}=\widehat{QAC}\)

\(\Rightarrow\widehat{QAB}=\widehat{CAP}\)

\(\Rightarrow\Delta ABE~\Delta APC\)

\(\Rightarrow\frac{AB}{AP}=\frac{AE}{AC}=\frac{BE}{PC};\widehat{AEC}=\widehat{PBA}\)

Từ: \(\widehat{PBA}=\widehat{QBC}\Rightarrow\widehat{AEC}=\widehat{QBC}\Rightarrow QBEC\) nội tiếp.

Theo định lí Ptôlêmê ta có:

\(\Rightarrow BC.QE=QB.CE+QC.BE\Rightarrow BC\left(AE-QA\right)=QB.CE+QC.BE\)

\(\Rightarrow BC.AE=BC.QA+QB.CE+QC.BE\)\((*)\)

Từ các đẳng thức trên ta suy ra: \(CE=\frac{AC.PB}{PA};BE=\frac{AB.PC}{PA};AE=\frac{AC.AB}{PA}\)

Thay vào \((*)\) \(\Rightarrow\frac{PA.QA}{BA.AC}+\frac{PB.QB}{AB.BC}+\frac{PC.QC}{BC.AC}=1\left(đpcm\right)\)

a) Kẻ đường thẳng Ax tiếp xúc với đường tròn (O) tại A.

Khi đó \(\widehat{FAx}=\widehat{ACB}\)  (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung)

Ta dễ thấy  BFEC là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat{AFE}=\widehat{ACB}\)

Vậy nên \(\widehat{AFE}=\widehat{FAx}\), chúng lại ở vị trí so le trong nên Ax // EF

Mà \(Ax\perp OA\Rightarrow EF\perp OA\)

Tương tự ta có : \(FD\perp OB;ED\perp OC\)

b) Kẻ đường kính CI. Khi đó ta có ngay IB // AH (Cùng vuông góc BC) ; IA // BH (Cùng vuông góc AC). Vậy nên tứ giác AIBH là hình bình hành và AH = IB.

Xét tam giác IBC có M là trung điểm BC, OC = OB nên OM là đường trung bình. Vậy \(OM=\frac{1}{2}IB\Rightarrow OM=\frac{1}{2}AH\)

Tương tự, gọi N, P  lần lượt là trung điểm AB, AC thì \(ON=\frac{1}{2}BH;OP=\frac{1}{2}CH\)

c) Gọi G' là giao điểm của AM và HO.

Ta thấy OM // AH nên áp dụng định lý Ta let ta có:

\(\frac{MG'}{G'A}=\frac{OM}{AH}=\frac{1}{2}\)

Độ ẨM là đường trung tuyến, AG' = G'M nên G' là trọng tâm tam giác ABC hay G' trùng G. Vậy H, G, O thẳng hàng.

d)  Gọi giao điểm của OA với PQ là J. Khi đó J là trung điểm QP.

Xét tam giác APQ có AJ là đường cao đồng thời trung tuyến nên nó là tam giác cân.

Vậy thì AP = AQ hay AP² = AQ².   (1)

Kẻ đường kính AX. 

Xét tam giác vuông AQX, đường cao  QJ, ta có: 

\(AQ^2=AJ.AX\)   (2)

Tứ giác BFEC nội tiếp nên \(\widehat{AFJ}=\widehat{ACB}=\widehat{AXB}\)

Suy ra \(\Delta AFJ\sim\Delta AXB\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AF}{AX}=\frac{AJ}{AB}\Rightarrow AJ.AX=AF.AB\)

Ta cũng có \(\Delta AFH\sim\Delta ADB\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AF}{AD}=\frac{AH}{AB}\Rightarrow AD.AH=AF.AB\)

Vậy thì \(AJ.AX=AH.AD\) hay \(AJ.AX=2.OM.AD\)    (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra  AP² = AQ² = 2OM.AD

e) Kẻ MT vuông góc OC (T thuộc OC)

Xét tam giác vuông OMC, đường cao MT, ta có: \(\frac{1}{OM^2}+\frac{1}{MC^2}=\frac{1}{MT^2}\Rightarrow\frac{1}{\left(\frac{AH}{2}\right)^2}+\frac{1}{\left(\frac{BC}{2}\right)^2}=\frac{1}{MT^2}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{AH^2}+\frac{1}{BC^2}=\frac{1}{\left(2MT\right)^2}\)

Vậy ta cần chứng minh \(EF=2MT\)

Thật vậy : \(\Delta AEF\sim\Delta ABC\Rightarrow\frac{EF}{BC}=\frac{AE}{AE}=cos\widehat{BAE}\)

\(\Rightarrow EF=BC.cos\widehat{BAE}\)

Ta có : \(\Delta MCT\sim\Delta OCM\Rightarrow\frac{MT}{OM}=\frac{MC}{OC}\Rightarrow MT=MC.\frac{OM}{OC}\)

Lại có \(\frac{OM}{OC}=cos\widehat{MOC}=cos\frac{\widehat{BOC}}{2}=cos\widehat{BAC}\)

Nên \(MT=MC.cos\widehat{BAE}=\frac{1}{2}.BC.cos\widehat{BAE}=\frac{1}{2}EF.\)

Vậy ta có EF = 2MT

Từ đó ta đã chứng minh được : \(\frac{1}{AH^2}+\frac{1}{BC^2}=\frac{1}{EF^2}\)