Cho a,b,c>0 và a+b+c=1
Tìm GTNN của \(M=\frac{9}{1-2\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{2}{abc}\)
Những câu hỏi liên quan
cho a,b,c>0 và a+b+c=1. tìm GTNN của : \(M=\frac{1}{1-2\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{1}{abc}\)
cho a,b,c>0 và a+b+z=1. tìm GTNN của:\(M=\frac{1}{1-2\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{1}{abc}\)
Cho a; b; c > 0 sao cho a+b+c=3. Chứng minh rằng
\(\frac{a}{b^2\left(ca+1\right)}+\frac{b}{c^2\left(ab+1\right)}+\frac{c}{a^2\left(bc+1\right)}\ge\frac{9}{\left(1+abc\right)\left(ab+bc+ca\right)}\)
Cho a,b,c > 0. Tìm GTNN của biểu thức: \(P=\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\frac{\left(a+b+c\right)^3}{abc}\)
\(2P=\frac{2ab+2bc+2ca}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{abc}=\frac{\left(a+b+c\right)^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2\left(a+b+c\right)^3}{abc}\)
\(\Rightarrow2P+1=\left(a+b+c\right)^2\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2\left(a+b+c\right)}{abc}\right)=\left(a+b+c\right)^2\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ca}\right)\)
\(\Rightarrow2P+1\ge\left(a+b+c\right)^2\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{18}{ab+bc+ca}\right)\)
\(\Rightarrow2P+1\ge\left(a+b+c\right)^2\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{16}{ab+bc+ca}\right)\)
\(\Rightarrow2P+1\ge\left(a+b+c\right)^2\left(\frac{9}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}+\frac{16}{ab+bc+ca}\right)\)
\(\Rightarrow2P+1\ge\left(a+b+c\right)^2\left(\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{48}{\left(a+b+c\right)^2}\right)=57\)
\(\Rightarrow P\ge28\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Đúng 0
Bình luận (0)
cho a, b, c>0 sao cho a+b+c=1
tìm GTNN của \(A=\frac{1}{1-2\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{1}{abc}\)
Cho a.b,c là các số thực thỏa mãn 0<a,b,c<1 và ab+bc+ca=1.
Tìm GTNN của P=\(\frac{a^2\left(1-b\right)}{b}+\frac{b^2\left(1-c\right)}{c}+\frac{c^2\left(1-a\right)}{a}\)
Cho a;b;c>0 . Tìm GTNN
\(A=a\left(\frac{a}{2}+\frac{1}{bc}\right)+b\left(\frac{b}{2}+\frac{1}{ca}\right)+c\left(\frac{c}{2}+\frac{1}{ab}\right)\)
ta có A=\(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}+\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}+\frac{c^2}{2}=\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}+\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}+\frac{c^2}{2}\)
mà \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\Rightarrow\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}\ge\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}+\frac{c^2}{2}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{a^2}{2}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2a}+...\)
Áp dụng bđt co si ta có , \(\frac{a^2}{2}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2a}\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\)
tương tự mấy cái kia rồi + vào thì A>=...
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho các số thực a,b,c thỏa 0<a,b,c<1 và ab+bc+ca=1. Tìm GTNN của biểu thức:
\(A=\frac{a^2\left(1-2b\right)}{b}+\frac{b^2\left(1-2c\right)}{c}+\frac{c^2\left(1-2a\right)}{a}\)
Cho a,b,c>0 và ab+bc+ca=2011abc
Tìm GTNN của \(Q=\frac{1}{a\left(2011a-1\right)^2}+\frac{1}{b\left(2011b-1\right)^2}+\frac{1}{c\left(2011c-1\right)^2}\)
Ta có: \(\left(x-y\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Rightarrow4.2011a\left(2011a-2\right)\le\left(2011a+2011a-2\right)^2=4\left(2011a-1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2011a\left(2011a-2\right)\le\left(2011a-1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{2011a\left(2011a-2\right)}{\left(2011a-1\right)^2}\le1\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}-\frac{2011a\left(2011a-2\right)}{\left(2011a-1\right)^2}\ge\frac{1}{a}-1\)\(\Leftrightarrow\frac{1}{a\left(2011a-1\right)^2}\ge\frac{1}{a}-1\)
Tương tự: \(\frac{1}{b\left(2011b-1\right)^2}\ge\frac{1}{b}-1;\frac{1}{c\left(2011c-1\right)^2}\ge\frac{1}{c}-1\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a\left(2011a-1\right)^2}+\frac{1}{b\left(2011b-1\right)^2}+\frac{1}{c\left(2011c-1\right)^2}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-3=2011-3=2008\)
Sai thì thôi nhá bẹn!