Khi bạn muốn chứng minh S là một quan hệ tương đương (QHTĐ), bạn cần chứng minh S có 3 tính chất: - Phản xạ: tức là CM với mọi a ta luôn có aSa. - Đối xứng: nếu aSb thì bSa. - Bắc cầu: nếu aSb và bSc thì aSc. Nay ta CM quan hệ S của bài toán là QHTĐ. - phản xạ: rõ ràng với mọi số nguyên a thì a - a = 0 chia hết cho 3 nên aSa. - đối xứng: giả sử aSb -> (a - b) chia hết cho 3 -> -(a - b) chia hết cho 3 -> (b - a) chia hết cho 3 -> bSa - bắc cầu: giả sử aSb và bSc -> (a - b) và (b - c) cùng chia hết cho 3 -> [(a - b) +(b - c)] chia hết cho 3 -> (a - c) chia hết cho 3 -> aSc Vậy S là QHTĐ (đpcm) Bài toán này có thể thay số 3 bởi một số nguyên n khác 0 tùy ý. Mời bạn giải một số bài toán sau để luyện thêm: 1. CM quan hệ đồng dạng giữa các tam giác là QHTĐ 2.Trong tập các số Nguyên dương, quan hệ aSb <-> a và b nguyên tố cùng nhau không phải là QHTĐ. 3.Gọi X là tập hợp các đường thẳng trên mặt phẳng, quan hệ aSb <-> 2 đường thẳng a và b vuông góc với nhau có phải là QHTĐ không? 4.Hỏi như bài 3 nếu 2 đường thẳng a và b song song hoặc trùng nhau? Chúc bạn học tốt.

B

Ta c/m 1) \(c< 0\)và \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}\Rightarrow a,b>0\) và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)

2) \(a,b>0\)và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Rightarrow c< 0\)và \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}\)

Thật vậy ĐK: a+c>0, b+c>0 mà c<0 \(\Rightarrow a,b>0\)

\(\sqrt{a+b}=\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}\Rightarrow a+b=a+c+b+c+2\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)

\(\Rightarrow-c=\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\Rightarrow\hept{\begin{cases}c< 0\\c^2=ab+ac+bc+c^2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}c< 0\\ab+bc+ca=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}c< 0\\\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\)đpcm

2) \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Rightarrow\frac{1}{c}=-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\)mà \(a,b>0\Rightarrow c< 0\)

\(\frac{1}{c}=-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\Rightarrow c=\frac{-ab}{a+b}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+c=a-\frac{ab}{a+b}=\frac{a^2}{a+b}\\b+c=b-\frac{ab}{a+b}=\frac{b^2}{a+b}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}=\frac{a}{\sqrt{a+b}}+\frac{b}{\sqrt{a+b}}=\frac{a+b}{\sqrt{a+b}}=\sqrt{a+b}\)

\(\Rightarrow\)Đpcm

mỗi tỉ số đã cho đều bớt đi 1 ta được :

\(\frac{2a+b+c+d}{a}\) - 1 = \(\frac{a+2b+c+d}{b}\)  - 1 = \(\frac{a+b+2c+d}{c}\)  - 1 = \(\frac{a+b+c+2d}{d}\)  - 1 

\(\frac{a+b+c+d}{a}\)   = \(\frac{a+b+c+d}{b}\)  = \(\frac{a+b+c+d}{c}\)  = \(\frac{a+b+c+d}{d}\)  

- Nếu a+b+c+d \(\ne\)  0 thì a = b = c =d lúc đó M = 1 + 1 + 1 + 1 = 4

- Nếu a + b + c + d = 0 thì a + b = - ( c + d ) ; b + c = - ( d + a )

                                            c + d = - ( a + b ) ; d + a = - ( b + c )

Lúc đó : M= (-1 ) + (-1) + (-1) + (-1) = -4

Lấy 1 điểm O tùy ý , Qua O vẽ 9 đường thẳng lần lượt song song với 9 đường thẳng đã cho 9 đường thẳng qua O tạo thành 18 góc không có điểm trong chung , mỗi góc này tương ứng bằng góc giữa 2 đường thẳng tronh số 9 đường thẳng đã cho . Tổng số đo của 18 góc đỉnh O là 360 độ do đó ít nhất có một góc nhỏ hơn 360 : 18 = 20 , từ đó suy ra ít nhất cũng có hai đường thẳng mà góc nhọn giữa chúng không nhỏ hơn 20 độ

 

Câu 2

S = ( 100a + 10b + c ) + ( 100b + 10c + a ) + (100c + 10a + b )

S = 111(a+b+c)  =  37.3 (a+b+c)

Vì 0 < a + b + c \(\le\)  27 nên a + b + c \(⋮̸\) 37 

Mặt khác (3;37) = 1 nên 3 ( a+b+c)  \(⋮̸\) 37

Suy ra S không thể là số chính phương