Cho a,b,c khác 0 thỏa mãn a+b+c=0. Tính
\(A=\frac{a^2}{a^2-b^2-c^2}+\frac{b^2}{b^2-c^2-a^2}+\frac{c^2}{c^2-a^2-b^2}\)
Cho a, b, c khác 0 thỏa mãn : a + b - c = 0. Tính :
\(B=\frac{1}{a^2+b^2-c^2}+\frac{1}{b^2+c^2-a^2}+\frac{1}{c^2+a^2-b^2}\)
\(a+b=c\Rightarrow\left(a+b\right)^2=c^2\Rightarrow a^2+2ab+b^2=c^2\Rightarrow a^2+b^2-c^2=-2ab\)
Tượng tự: \(b^2+c^2-a^2=2bc,c^2+a^2-b^2=2ac\)
Khi đó: \(B=\frac{-1}{2ab}+\frac{1}{2bc}+\frac{1}{2ac}=\frac{-c+a+b}{2abc}=0\)
Chúc bạn học tốt.
a/ Cho a,b,c thỏa mãn : a+b+c=0 và a^2+b^2+c^2=14
tính A khi A= a^4+b^4+c^4
b/ cho a,b,c khác 0. Tính D= x^2011+y^2011+z^2011
biết x,y,z thỏa mãn :\(\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\)
a)Ta có: ab+ac+bc=-7 (ab+ac+bc)^2=49
nên
(ab)^2+(bc)^2+(ac)^2=49
nên a^4+b^4+c^4=(a^2+b^2+c^2)^2−2(ab)^2−2(ac)^2−2(bc^)2=98
b) (x^2+y^2+z^2)/(a^2+b^2+c^2)=
=x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2 <=>
x^2+y^2+z^2=x^2+(a^2/b^2)y^2+
+(a^2/c^2)z^2+(b^2/a^2)x^2+y^2+
+(b^2/c^2)z^2+(c^2/a^2)x^2+
+(c^2/b^2)y^2+z^2 <=>
[(b^2+c^2)/a^2]x^2+[(a^2+c^2)/b^2]y^2+
+[(a^2+b^2)/c^2]z^2 = 0 (*)
Đặt A=[(b^2+c^2)/a^2]x^2; B=[(a^2+c^2)/b^2]y^2;
và C=[(a^2+b^2)/c^2]z^2
Vì a,b,c khác 0 nên suy ra A,B,C đều không âm
Từ (*) ta có A+B+C=0
Tổng 3 số không âm bằng 0 thì cả 3 số đều phải bằng 0,tức A=B=C=0
Vì a,b,c khác 0 nên [(b^2+c^2)/c^2]>0 =>x^2=0 =>x=0
Tương tự B=C=0 =>y^2=z^2=0 => y=z=0
Vậy x^2011+y^2011+z^2011=0
Và x^2008+y^2008+z^2008=0.
Cho 3 số a,b,c khác 0 thỏa mãn a+b+c=0.
Tính \(P=\frac{a}{c}\cdot\frac{a^2-b^2-c^2}{b^2-c^2-a^2}\cdot\frac{c^2+a^2-b^2}{c^2-a^2-b^2}\)
HELP Tớ với ạ.Thanks trước:v
a+b+c=0=> a2-b2-c2=2bc,b2-c2-a2=2ac,c2+a2-b2=-2ac,c2-a2-b2=2ab
=>\(P=\frac{a}{c}.\frac{2bc}{2ac}.\frac{-2ac}{2ab}=-1\)
a+b+c=0 <=> a+b=-c; b+c=-a;c+a=-b
\(\frac{a^2-b^2-c^2}{b^2-c^2-a^2}=\frac{\left(a-c\right)\left(a+c\right)-b^2}{\left(b-a\right)\left(b+a\right)-c^2}=\frac{\left(a-c\right)\left(-b\right)-b^2}{\left(b-a\right)\left(-c\right)-c^2}=\frac{b\left(c-a-b\right)}{c\left(a-b-c\right)}\)
\(=\frac{b\left[c-\left(a+b\right)\right]}{c\left[a-\left(b+c\right)\right]}=\frac{b\left[c-\left(-c\right)\right]}{c\left[a-\left(-a\right)\right]}=\frac{b.2c}{c.2a}=\frac{b}{a}\)
***
\(\frac{c^2+a^2-b^2}{c^2-a^2-b^2}=\frac{\left(c-b\right)\left(c+b\right)+a^2}{\left(c-b\right)\left(c+b\right)-a^2}=\frac{\left(c-b\right)\left(-a\right)+a^2}{\left(c-b\right)\left(-a\right)-a^2}=\frac{a\left(a+b-c\right)}{a\left(b-c-a\right)}\)
\(=\frac{a+b-c}{b-\left(c+a\right)}=\frac{-c-c}{b-\left(-b\right)}=\frac{-2c}{2b}=\frac{-c}{b}\)
\(P=\frac{a}{c}.\frac{a^2-b^2-c^2}{b^2-c^2-a^2}.\frac{c^2+a^2-b^2}{c^2-a^2-b^2}=\frac{a}{c}.\frac{b}{a}.\frac{-c}{b}=-1\)
Cho a,b,c khác 0 thỏa mãn a+b+c=0
Tính \(A=\frac{a^2}{a^2-b^2-c^2}+\frac{b^2}{b^2-c^2-a^2}+\frac{c^2}{c^2-a^2-b^2}\)
Mọi người giúp em với ạ! Em cảm ơn!
Vì a+b+c=0=>(a+b)=-c. Tương tự:(b+c)=-a;(a+c)=-b.
Ta có A=:\(\frac{a^2}{a^2-b^2-c^2}+\frac{b^2}{b^2-c^2-a^2}+\frac{c^2}{c^2-a^2-b^2}\)
\(=\frac{a^2}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)-c^2}+\frac{b^2}{\left(b-c\right)\left(b+c\right)-a^2}+\frac{c^2}{\left(c-a\right)\left(c+a\right)-b^2}\)
\(=\frac{a^2}{\left(a-b\right).\left(-c\right)-c^2}+tươngtự\)
\(=\frac{a^2}{-ca+bc-c^2}\)+ tương tự
\(=\frac{a^2}{c\left(b-c-a\right)}+tươngtự\)
\(=\frac{a^2}{c\left(b-\left(c+a\right)\right)}\)+ tương tự nha
\(=\frac{a^2}{c\left(b-\left(-b\right)\right)}+tươngtự=\frac{a^2}{2bc}+tươngtự\)
Sau đó ta có :\(\frac{a^2}{2bc}+\frac{b^2}{2ac}+\frac{c^2}{2bc}\)
=\(\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}=\frac{\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3}{2abc}\)
\(=\frac{\left(a+b+c\right)^3-3\left(a+b\right)c\left(a+b+c\right)-3ab\left(a+b\right)}{2abc}\)=\(\frac{0-0-3ab\left(-c\right)}{2abc}\)(do a+b+c=0)
=\(\frac{3abc}{2abc}=\frac{3}{2}\)Ok r bạn
1. Cho a,b,c,x,y,z khác 0 thỏa mãn:
\(\frac{7cy-5bz}{x}=\frac{2az-7cx}{y}=\frac{5bx-2ay}{z}\)
CMR: \(\frac{2a}{x}=\frac{5b}{y}=\frac{7c}{z}\)
2.Cho a,b,c,x,y,z khác 0 thỏa mãn: \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\)
CMR: \(\frac{x^2+y^2+z^2}{\left(ax+by+cz\right)^2}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\)
3.Cho a,b,c thỏa mãn \(\frac{a}{2016}=\frac{b}{2017}=\frac{c}{2018}\)
CMR: 4(a-b)(b-c)=(a-c)2
4. Cho a,b,c thỏa mãn:\(\frac{a}{x}=\frac{b}{x+1}=\frac{c}{x+2}\)
CMR: 4(a-b)(b-c)=(a-c)2
5. Cho a,b,c thỏa mãn:
\(\frac{a}{-2017}=\frac{b}{-2016}=\frac{c}{-2015}\)
CMR: 4(a-b)(b-c)=(a-c)2
6. Cho a,b,c khác 0 và \(\frac{b+c+a}{a}=\frac{a+b-c}{b}=\frac{c+a-b}{c}\)
Tính giá trị biểu thức A=\(\frac{\left(a-b\right)\left(c+b\right)\left(c-a\right)}{abc}\)
Cho 3 số a,b,c khác 0 thỏa mãn a+b+c=0.Chứng minh:\(P=\sqrt{\frac{54a^2}{a^2-b^2-c^2}+\frac{54b^2}{b^2-c^2-a^2}+\frac{54c^2}{c^2-a^2-b^2}}\)là một số nguyên
.
Ta có : \(P=3\sqrt{6}\sqrt{\frac{a^2}{a^2-b^2-c^2}+\frac{b^2}{b^2-c^2-a^2}+\frac{c^2}{c^2-a^2-b^2}}\) = \(3\sqrt{6}.Q\)
Thấy : \(a^2-b^2-c^2=\left(b+c\right)^2-b^2-c^2=2bc\) ( do a + b + c = 0 )
Suy ra : \(\frac{a^2}{a^2-b^2-c^2}=\frac{a^2}{2bc}\) . CMTT : \(\frac{b^2}{b^2-c^2-a^2}=\frac{b^2}{2ac};\frac{c^2}{c^2-a^2-b^2}=\frac{c^2}{2ab}\)
Suy ra : \(Q=\sqrt{\frac{a^2}{2bc}+\frac{b^2}{2ac}+\frac{c^2}{2ab}}=\sqrt{\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}}=\sqrt{\frac{3abc}{2abc}}=\sqrt{\frac{3}{2}}\) ( vì a + b + c = 0 )
Khi đó : \(P=3\sqrt{6}.\sqrt{\frac{3}{2}}=9\) là 1 số nguyên
( Q.E.D)
Cho ba số a,b,c khác 0 thỏa mãn: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=1\) .
Tính giá trị của biểu thức \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\)
cho a, b ,c thuộc R và a+b+c =0 thỏa mãn a3 +b3 + c3 = 3abc , abc khác 0.
Tinh P = \(\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\)
Cho a,b,c khác 0 thỏa mãn a+b+c=0
Chứng mỉnh rằng:\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\)
Có: \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ac}=....+2\frac{a+b+c}{abc}=.....\)