​\(x^2+x+3=x^2+2.\frac{1}{2}.x+\frac{1}{4}+\frac{11}{4}=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{11}{4}\ge\frac{11}{4}>0\) luôn dương với mọi x

------------------

\(-2x^2+3x-8=2\left(-x^2+\frac{3}{2}x-4\right)=2\left[-x^2+2.\frac{3}{4}.x-\frac{9}{16}-\frac{55}{16}\right]=2\left[-\left(x-\frac{3}{4}\right)^2-\frac{55}{16}\right]\)

\(=2\left[-\left(x-\frac{3}{4}\right)^2-\frac{55}{16}\right]\le-\frac{55}{15}< 0\) luôn âm với mọi x

áp dụng hằng đẳng thức số 2 

nhóm 3 ra ngoài ý rồi chứng minh nó luôn dương ; một số dương mà nhân với một tích bình phương (hằng đẳng thức ấy ) thì luôn luôn lớn hơn 0 

Ta có : Q = 2x² + x² - 2x + 1 + 4 = 2x² + (x - 1)² + 4                                                                                                                                 Vì 2x² luôn lớn hơn hoặc bằng 0 ;(x - 1)² luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi x ; 4 >0                                                                        => 2x² + (x+1)² + 4 >0 với mọi x => Q lớn hơn 0 với mọi x                                                                                                                                                               Vậy, Q luôn dương với mọi giá trị của x

a) \(A=x^2+2x+3=x^2+2x+1+2\)

\(=\left(x+1\right)^2+2\ge2\)

Vậy A luôn dương với mọi x

b) \(B=-x^2+4x-5=-\left(x^2-4x+5\right)\)

\(=-\left(x^2-4x+2^2\right)-1\)

\(=-\left(x-2\right)^2-1\le-1\)

Vậy B luôn âm với mọi x

a)\(x^2+2x+3=\left(x^2+2x+1\right)+2=\left(x+1\right)^2+2\ge2\)

Vậy x² +2x+3 luôn dương.

b)\(-x^2+4x-5=-\left(x^2-4x+5\right)=-\left(x^2-4x+4+1\right)=-\left[\left(x-2\right)^2+1\right]\le-1\)

Vậy -x² +4x-5 luôn luôn âm.

\(x^4+2x^2+1=\left(x^2+1\right)^2\ge1>0\forall x\) ( đpcm ) 

`x^4+2x^2+1`

`=(x^2)^2 + 2.x^2 .1 + 1^2`

`=(x^2+1)^2 > 0 forall x`.

x⁴+2x²+1 =(x²+1)² mà (x²+1)² ≥ 0 vs mọi x

`A=x(x-6)+10=x^2-6x+10`

`=x^2 -2.x .3 + 3^2 + 1`

`=(x-3)^2+1 >0 forall x`

`B=x^2-2x+9y^2-6y+3`

`=(x^2-2x+1)+(9y^2-6y+1)+1`

`=(x-1)^2+(3y-1)^2+1 > 0 forall x,y`.

x⁴ - x³ + 3x² - 2x + 2

= x⁴ - x³ + x² + 2x² - 2x + 2

= x²(x² - x + 1) + 2(x² - x + 1)

= (x² + 2)(x² - x + 1)

= (x² + 2)(x² - x + 1/4 + 3/4)

= (x² + 2)[(x - 1/2)² + 3/4]

x² + 2 lớn hơn hoặc bằng 2

(x - 1/2)² + 3/4 lớn hoăn hoặc bằng 3/4

(x² + 2)[(x - 1/2)² + 3/4] lớn hơn hoặc bằng 3/2 > 0 (đpcm)