Lời giải:

Tìm min:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$x^2+y^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}=\frac{6^2}{3}=12$

Vậy $A_{\min}=12$. Giá trị này đạt tại $x=y=z=2$

--------------

Tìm max:

$A=x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)=36-2(xy+yz+xz)$

Vì $x,y,z\geq 0\Rightarrow xy+yz+xz\geq 0$

$\Rightarrow A=36-2(xy+yz+xz)\leq 36$

Vậy $A_{\max}=36$. Giá trị này đạt tại $(x,y,z)=(0,0,6)$ và hoán vị.

Cay, đánh xong rồi tự nhiên bấm hủy :v

Ta có:\(x+y+z=xyz\Leftrightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1\)

Đặt \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)\rightarrow\left(a;b;c\right)\Rightarrow ab+bc+ca=1\)

Khi đó:

\(A=\frac{a^2\left(1+2b\right)}{b}+\frac{b^2\left(1+2c\right)}{c}+\frac{c^2\left(1+2a\right)}{a}\)

\(=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}+2\cdot\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)

\(=a+b+c+\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{3}\)

\(\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{6\left(ab+bc+ca\right)}{3}\)

\(=2+\sqrt{3}\)

Đẳng thức xảy ra tại \(x=y=z=\sqrt{3}\)

zZz Cool Kid_new zZz. Sai đề rồi bạn êii !

Nếu bạn đặt như vậy thì 

\(A=\frac{y-2}{x^2}+\frac{z-2}{y^2}+\frac{x-2}{z^2}\)

\(=\frac{a^2\left(1-2b\right)}{b}+\frac{b^2\left(1-2c\right)}{c}+\frac{c^2\left(1-2a\right)}{a}\)

\(=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}-2.\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

thấy nó sương sương đề thanh hóa năm nay nên t dựa theo đề kia làm luôn :3 

Áp dụng BĐT:

\(xyz\ge\left(x+y-z\right)\left(y+z-x\right)\left(x+z-y\right)\)

\(\Leftrightarrow xyz\ge\left(1-2x\right)\left(1-2y\right)\left(1-2z\right)\)

\(\Leftrightarrow xyz\ge1+4\left(xy+yz+zx\right)-2\left(x+y+z\right)-8xyz\)

\(\Leftrightarrow9xyz\ge4\left(xy+yz+zx\right)-1\)

\(\Rightarrow P=x^2+y^2+z^2+\frac{9}{2}xyz\ge x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)-\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow P\ge\left(x+y+z\right)^2-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Lại có:

\(xy+yz+zx=\left(xy+yz+zx\right)\left(x+y+z\right)\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}.3\sqrt[3]{xyz}=9xyz\)

\(\Rightarrow P\le x^2+y^2+z^2+\frac{1}{2}\left(xy+yz+zx\right)\)

\(P\le\left(x+y+z\right)^2-\frac{3}{2}\left(xy+yz+zx\right)\le\left(x+y+z\right)^2=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;1\right)\) và hoán vị

Bài này chỉ có min, không có max của A nhé bạn

Muốn có max thì x;y;z phải không âm

\(2=x^2+y^2+z^2\ge y^2+z^2\ge2yz\Rightarrow yz\le1\)

\(P=x\left(1-yz\right)+y+z\Rightarrow P^2\le\left[x^2+\left(y+z\right)^2\right]\left[\left(1-yz\right)^2+1\right]\)

\(P^2\le\left(2+2yz\right)\left(y^2z^2-2yz+2\right)\)

\(P^2\le2\left(yz\right)^3-2\left(yz\right)^2+4=2y^2z^2\left(yz-1\right)+4\le4\)

\(\Rightarrow P\le2\)

\(P_{max}=2\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;1;1\right)\) và các hoán vị