Em ko chắc lắm đâu, tại yếu dạng điểm rơi tại biên này lắm.
*Tìm min
Ta có: \(S\ge x^2+y^2+z^2+\frac{3}{2}xyz\) (cái này dễ chứng minh) (Đẳng thức xảy ra khi có một số = 0 (hoặc 2 số "=" 0) )
Ta chứng minh: \(x^2+y^2+z^2+\frac{3}{2}xyz\ge\frac{9}{2}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+3xyz\ge2xy+2yz+2zx\)
Do \(\left[x\left(y-1\right)\left(z-1\right)\right]\left[y\left(z-1\right)\left(x-1\right)\right]\left[z\left(x-1\right)\left(y-1\right)\right]\)
\(=xyz\left(x-1\right)^2\left(y-1\right)^2\left(z-1\right)^2\ge0\) nên tồn tại ít nhất 1 thừa số không âm. Ở đây em sẽ chứng minh trường hợp \(x\left(y-1\right)\left(z-1\right)\ge0\). Các trường hợp còn lại chứng minh tương tự.
Do \(x\left(y-1\right)\left(z-1\right)\ge0\Rightarrow3xyz\ge3xy+3xz-3x\)
Như vậy ta cần chứng minh: \(x^2+y^2+z^2+xy+zx-3x-2yz\ge0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x+y+z\right)+\left(y-z\right)^2\ge0\)(đúng)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;\frac{3}{2};\frac{3}{2}\right)\) và các hoán vị.
*Tìm Max:
Chưa nghĩ ra.
Chết,bài tìm min nhầm chút:(dòng 10)
Như vậy ta cần chứng minh: \(x^2+y^2+z^2+xy+yz-3x-2yz\ge0\)
Ta có;\(VT=x\left(x+y+z-3\right)+\left(y-z\right)^2=\left(y-z\right)^2\ge0\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;\frac{3}{2};\frac{3}{2}\right)\)
Như vầy nha!
*Tìm Max:
Dễ chứng minh:\(S\le x^2+y^2+z^2+6xyz\)
Như vậy ta chứng minh: \(x^2+y^2+z^2+6xyz\le9=\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(xy+yz+zx-3xyz\right)\ge0\)
BĐT này đúng vì \(xy+yz+zx-3xyz\ge3\left[\left(\sqrt[3]{xyz}\right)^2-\left(\sqrt[3]{xyz}\right)^3\right]\)
\(=3\left(\sqrt[3]{xyz}\right)^2\left[1-\sqrt[3]{xyz}\right]\ge3\left(\sqrt[3]{xyz}\right)^2\left(1-\frac{x+y+z}{3}\right)=0\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;3\right)\) và các hoán vị.
Cách khác phần min:
Dễ có: \(S\ge x^2+y^2+z^2+\frac{3}{2}xyz\)
Ta sẽ chứng minh: \(x^2+y^2+z^2+\frac{3}{2}xyz\ge\frac{9}{2}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+3xyz\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)+9xyz\ge2.3\left(xy+yz+zx\right)\) (nhân 3 vào)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)+9xyz\ge2\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+3xyz\ge xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+zx\left(z+x\right)\)
Đây là BĐT Schur bậc 3 nên luôn đúng.
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;\frac{3}{2};\frac{3}{2}\right)\) và các hoán vị.
phần max có cách khác:v
Có \(S\le x^2+y^2+z^2+6xyz\). Ta chứng minh \(x^2+y^2+z^2+6xyz\le9=\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)+18xyz\le\left(x+y+z\right)^3\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+zx^2-6xyz\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left[x\left(y-z\right)^2+y\left(z-x\right)^2+z\left(y-x\right)^2\right]\ge0\)(đúng)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;3\right)\) và các hoán vị của nó.
P/s: Anh đọc 3 bài mới nhất thôi nha!
Tìm min, max mà chỉ dùng bđt cô-si được ko :3 (nếu có bunhia nữa cũng được)
Thôi, bài này Cô si khá căng (mà em chả biết làm) vì nó có \(\frac{9}{2}xyz\) và \(x^2+y^2+z^2\) khi áp dụng Cauchy thì 2 cái này lại người chiều nhau:(
