\(\frac{a}{n+2}=\frac{b}{n+5}=\frac{c}{n+8}=k\Leftrightarrow a=nk+2k;b=nk=5k;c=nk+8k\)

\(\left(a+c\right)^2=\left(nk+2k+nk+8k\right)^2=4k^2\left(n+5\right)^2\) ( sai nhế)

\(4\left(a-b\right)\left(b-c\right)=4\left(nk+2k-nk-5k\right)\left(nk+5k-nk-8k\right)=4\left(-3k\right)\left(-3k\right)=36k^2\)

\(\left(a-c\right)^2=\left(nk+2k-nk-8k\right)^2=4\left(-6k\right)^2=36k^2\)

=> \(\left(a-c\right)^2=4\left(a-b\right)\left(b-c\right)\)

a) Gọi 5 số tự nhiên đó là a; a+1; a+2; a+3;a+4

Tổng 5 số đó là a + a+1 + a+2 + a+3 + a+4

= (a+a+a+a+a) + (1+2+3+4)

= 5a + 10

= 5(a+2) chia hết cho 5

Vậy tổng của 5 số tự nhiên chia hết cho 5

Bài 6:

Gọi 2 số nguyên đó lần lượt là a và b \(\left(a,b\in Z\right)\)

Ta có:

\(ab=a-b\Leftrightarrow ab+b=a\)

\(\Leftrightarrow b\left(a+1\right)=a\Leftrightarrow b=\frac{a}{a+1}\left(a+1\ne0\Leftrightarrow a\ne-1\right)\)

Lại có: \(\frac{a}{a+1}=\frac{a+1-1}{a+1}=\frac{a+1}{a+1}-\frac{1}{a+1}=1-\frac{1}{a+1}\)

\(\Rightarrow1⋮a+1\Rightarrow a+1\inƯ\left(1\right)=\left\{1;-1\right\}\)

\(\Rightarrow a\in\left\{0;-2\right\}\) (thỏa mãn)

*)Xét \(a=0\)\(\Leftrightarrow b=\frac{a}{a+1}=\frac{0}{0+1}=0\) (thỏa mãn)

*)Xét \(a=-2\)\(\Leftrightarrow b=\frac{a}{a+1}=\frac{-2}{-2+1}=2\) (thỏa mãn)

Bài1: Tìm số nguyên n, biết

a) n - 4 chia hết cho n -1 (n khác 1)

\(\frac{n-4}{n-1}=\frac{n-1-3}{n-1}=1-\frac{3}{n-1}\)

Để \(\frac{n-4}{n-1}\in Z\) thì \(n-1\inƯ\left(3\right)=\left\{\pm1;\pm3\right\}\Leftrightarrow n\in\left\{0;2:-2;4\right\}\)

b) 2n là bội của n - 2 (n khác 2)

Để \(2n⋮n-2\) thì \(n-2\inƯ\left(2\right)=\left\{\pm1;\pm2\right\}\Leftrightarrow n\in\left\{1;3;0;4\right\}\)

Ta biểu thị 2 số hạng liên tiếp của dãy có dạng:\(\frac{\left(n-1\right)n}{2};\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)

\(\frac{\left(n-1\right)n}{2}+\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)

\(=\frac{\left(n-1\right)n+n\left(n+1\right)}{2}\)

\(=\frac{n\left(n-1+n+1\right)}{2}\)

\(=\frac{n\times2n}{2}\)

\(=n^2\)

\(\Rightarrow\)Tổng hai số hạng liên tiếp của dãy bao giờ cũng là số chính phương