Bài 8:

a) \(2^{225}=\left(2^3\right)^{75}=8^{75}\)

\(3^{150}=\left(3^2\right)^{75}=9^{75}\)

Vì \(8^{75}< 9^{75}\Rightarrow2^{225}< 3^{150}\)

b) \(2^{91}=\left(2^{13}\right)^7=8192^7\)

\(5^{35}=\left(5^5\right)^7=3125^7\)

Vì \(8192^7>3125^7\Rightarrow2^{91}>5^{35}\)

c) \(99^{20}=\left(99^2\right)^{10}=9801^{10}< 9999^{10}\)

Bài 1:

a) \(\frac{x}{-15}=\frac{-60}{x}\Rightarrow x^2=\left(-60\right).\left(-15\right)=900\Rightarrow x=\orbr{\begin{cases}30\\-30\end{cases}}\)

Bài 2: Đặt \(\frac{x}{4}=\frac{y}{7}=k\Rightarrow x=4k;y=7k\)

\(\Rightarrow xy=4k.7k=28k^2=112\)

\(\Rightarrow k^2=4\Rightarrow k=\pm2\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=4.2=8\\x=-4.2=-8\end{cases}}\)

Và \(\orbr{\begin{cases}y=7.2=14\\y=-7.2=-14\end{cases}}\)

Bài 3: \(1\frac{1}{3}:0,8=\frac{2}{3}:\left(0,1x\right)\)

\(\Rightarrow\frac{4}{3}:\frac{4}{5}=\frac{2}{3}:\frac{1}{10}x\Rightarrow\frac{5}{3}=\frac{2}{3}:\frac{1}{10}x\)

\(\Rightarrow\frac{1}{10}x=\frac{2}{5}\Rightarrow x=4\)

Mk trả lời nốt bài 4 hộ bn MMS_Hồ Khánh Châu nha:
Bài 4:
Gọi x là giá trị chung của 2 phân số trên.
Ta có: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=x\)
\(\Rightarrow a=x.b \)
      \(c=x.d\)
Ta lại có: 
\(\frac{a+c}{b+d}=\frac{x.b+x.d}{b+d}=\frac{x.\left(b+d\right)}{b+d}=x\)
Và \(\frac{a}{b}=x\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{a+c}{b+d}\)
Vậy \(\frac{a}{b}=\frac{a+c}{b+d}\)
Hk tốt nha

bài 1 a, hình như có thêm đk là a+b+c=3

Bài 4 nha

Áp dụng BĐT cô si ta có

\(\frac{1}{x^2}+x+x\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{x^2}.x.x}=3.\)

Tương tự với y . \(A\ge6\)dấu = xảy ra khi x=y=1

câu 1 mk bị lộn nhưng đáng ra  ca^2 thành c^2a  mới đúng

Câu 2 : x^+x+y^2+x = x(x+1) +y(y+1) chia cho vế trái (x+1)(y+1) ...
Bài toán dễ dàng :V

Mình nhớ có học qua rùi mà dốt quá trả chữ cho thầy cô hết trơn :)

Bài 3:

a,Đặt A = \(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{16}+\frac{1}{32}-\frac{1}{64}\)

A = \(\frac{1}{2}-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}-\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}-\frac{1}{2^6}\)

2A = \(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}-\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}-\frac{1}{2^5}\)

2A + A = \(\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}-\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}-\frac{1}{2^5}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}-\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}-\frac{1}{2^6}\right)\)

3A = \(1-\frac{1}{2^6}\)

=> 3A < 1 

=> A < \(\frac{1}{3}\)(đpcm)

b, Đặt A = \(\frac{1}{3}-\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}-\frac{4}{3^4}+...+\frac{99}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}\)

3A = \(1-\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}-\frac{4}{4^3}+...+\frac{99}{3^{98}}-\frac{100}{3^{99}}\)

3A + A = \(\left(1-\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}-\frac{4}{4^3}+...+\frac{99}{3^{98}}-\frac{100}{3^{99}}\right)-\left(\frac{1}{3}-\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}-\frac{4}{3^4}+...+\frac{99}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}\right)\)

4A = \(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{98}}-\frac{1}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}\)

=> 4A < \(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{98}}-\frac{1}{3^{99}}\)       (1)

Đặt B = \(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{98}}-\frac{1}{3^{99}}\)

3B = \(3-1+\frac{1}{3}-\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{97}}-\frac{1}{3^{98}}\)

3B + B = \(\left(3-1+\frac{1}{3}-\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{97}}-\frac{1}{3^{98}}\right)+\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{98}}-\frac{1}{3^{99}}\right)\)

4B = \(3-\frac{1}{3^{99}}\)

=> 4B < 3

=> B < \(\frac{3}{4}\)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra 4A < B < \(\frac{3}{4}\)=> A < \(\frac{3}{16}\)(đpcm)

bài 1:

5n+7 chia hết cho 3n+2

=> [3(5n+7) - 5(3n + 2)] chia hết cho 3n+2

=> (15n + 21 - 15n - 10) chia hết cho 3n+2

=> 11 chia hết cho 3n + 2

=> 3n + 2 thuộc Ư(11) = {1;-1;11;-11}

Ta có bảng:

Vậy n = {-1;3}

Bài 2:

1, chữ số tận cùng

a, Xét 7¹⁹⁹⁹

Ta có: 7¹⁹⁹⁹ = 7¹⁹⁹⁶.7³ = (7⁴)⁴⁹⁹.343 = (...1)⁴⁹⁹.343 = (....1).343 = ....3 (1)

Vậy số 57¹⁹⁹⁹ có tận cùng là 3

b, Xét 3¹⁹⁹⁹

Ta có: 3¹⁹⁹⁹ = 3¹⁹⁹⁶.3³ = (3⁴)⁴⁹⁹.27 = (...1)⁴⁹⁹.27 = (...1) . 27 = ....7  (2)

Vậy số 93¹⁹⁹⁹ có chữ số tận cùng là 7

2, 

Từ (1) và (2) suy ra A = 999993¹⁹⁹⁹ + 555557¹⁹⁹⁹ = ...7 + ...3 = ....0

Vì A có chữ số tận cùng là 0 nên A chia hết cho 5. 

a/ có \(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge-\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+a+\frac{1}{4}+b^2+b+\frac{1}{4}+c^2+c+\frac{1}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\left(b+\frac{1}{2}\right)^2+\left(c+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\) (luôn đúng với mọi a,b,c)

b/ \(2a^2+2b^2+8-2ab+4\left(a+b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+4a+4+b^2+4b+4+a^2+2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+2\right)^2+\left(b+2\right)^2+\left(a+b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

bài 2 áp dụng bất đẳng thức cô si cho 3 số dương ta có 

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge3\sqrt[3]{\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{z}\cdot\frac{z}{x}}=3\)

bài 3: giả sử \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge6\)

áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số dương ta có

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)cmtt \(\Rightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge6\)

áp dụng bất đăng thức trên ta đc

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=9\)

bái 4: áp dụng bất đẳng thức cô si cho từng cái, nhân vế theo vế là đc nhé bn

bai 2:

x.128=16.4

x.128=64

x=64:128=1/2

b,11.5=-6x

55=-6x

x=-55/6

c,17/32=-3,5:x

x= -96/85                                                                                                                                                                                                                                         

ắedfgvbhjnhkerfcvgbhjluvytyyyyyyyyyygbhhguujyukvghgvvfgxjvrgtvyrvbgvt

bai 2:

x.128=16.4

x.128=64

x=64:128=1/2

b,11.5=-6x

55=-6x

x=-55/6

c,17/32=-3,5:x

x= -96/85

1. a, \(2^{x+2}.3^{x+1}.5^x=10800\)

\(2^x.2^2.3^x.3.5^x=10800\)

\(\Rightarrow\left(2.3.5\right)^x.12=10800\)

\(\Rightarrow30^x=\frac{10800}{12}=900\)

\(\Rightarrow30^x=30^2\)

\(\Rightarrow x=2\)

b,\(3^{x+2}-3^x=24\)

\(\Rightarrow3^x\left(3^2-1\right)=24\)

\(\Rightarrow3^x.8=24\)\(\Rightarrow3^x=3^1\Rightarrow x=1\)

2, c, Áp dụng BĐT \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\)

Dấu bằng xảy ra khi \(ab\ge0\)

Ta có: \(\left|x-2017\right|=\left|2017-x\right|\)

 \(\Rightarrow\left|x-1\right|+\left|2017-x\right|\ge\left|x-1+2017-x\right|\)\(=\left|2016\right|=2016\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\left(x-1\right)\left(2017-x\right)\ge0\)\(\Rightarrow2017\ge x\ge1\)

Vậy \(Min_{BT}=2016\)khi \(2017\ge x\ge1\)

d, Áp dụng BĐT \(\left|a\right|-\left|b\right|\le\left|a-b\right|\forall a,b\inℝ\)

Dấu bằng xảy ra khi \(b\left(a-b\right)\ge0\)

Ta có \(B=\left|x-2018\right|-\left|x-2017\right|\le\left|x-2018-x+2017\right|\)

\(\Rightarrow B\le1\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\left(x-2017\right)\left[\left(x-2018\right)-\left(x-2017\right)\right]\ge0\)

\(\Rightarrow x\le2017\)

Vậy \(Max_B=1\) khi \(x\le2017\)

để BT \(\frac{5}{\sqrt{2x+1}+2}\) nguyên thì \(\sqrt{2x+1}+2\inƯ\left(5\right)\)

suy ra \(\sqrt{2x+1}+2\in\left\{-5;-1;1;5\right\}\)

\(\Rightarrow\sqrt{2x+1}\in\left\{-7;-3;-1;3\right\}\)

Mà \(\sqrt{2x+1}\ge0\) nên \(\sqrt{2x+1}\)chỉ có thể bằng 3

\(\Rightarrow2x+1=9\Rightarrow x=4\)( thỏa mãn điều kiện \(x\ge-\frac{1}{2}\))

Đây là cách lớp 9. Mk đang phân vân ko biết giải theo cách lớp 7 thế nào!!!!

Bài 1: 

Ta có: \(P=\frac{1}{1+x^2}+\frac{4}{4+y^2}=\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+\frac{y^2}{4}}\)

Đặt \(\left(x;\frac{y}{2}\right)=\left(a;b\right)\left(a,b>0\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}P=\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+2ab\\ab\ge1\end{cases}}\)

Ta có: \(P=\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+2ab\)

\(\ge\frac{1}{ab+a^2}+\frac{1}{ab+b^2}+2ab=\frac{1}{ab}+2ab\)

\(=\left(\frac{1}{ab}+ab\right)+ab\ge2+1=3\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(ab=\frac{1}{ab}\Rightarrow ab=1\Rightarrow xy=2\)

Bài 3: 

Đặt \(\left(a-1;b-1;c-1\right)=\left(x;y;z\right)\left(x,y,z>1\right)\)

Khi đó:

\(BĐTCCM\Leftrightarrow\frac{\left(x+1\right)^2}{y}+\frac{\left(y+1\right)^2}{z}+\frac{\left(z+1\right)^2}{x}\ge12\)

Thật vậy vì ta có:

\(VT=\frac{\left(x+1\right)^2}{y}+\frac{\left(y+1\right)^2}{z}+\frac{\left(z+1\right)^2}{x}\)

\(=\frac{x^2+2x+1}{y}+\frac{y^2+2y+1}{z}+\frac{z^2+2z+1}{x}\)

\(=\left(\frac{2x}{y}+\frac{2y}{z}+\frac{2z}{x}\right)+\left(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

\(VT\ge3\sqrt[3]{\frac{2x}{y}\cdot\frac{2y}{z}\cdot\frac{2z}{x}}+6\sqrt[6]{\frac{x^2}{y}\cdot\frac{y^2}{z}\cdot\frac{z^2}{x}\cdot\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{y}\cdot\frac{1}{z}}=6+6=12\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=z\Leftrightarrow a=b=c\)

Bài 5:

a) Đặt \(A=x^2+x+6=m^2\left(m\inℤ\right)\)

\(\Leftrightarrow4x^2+4x+24=4m^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)^2+23=4m^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)^2-\left(2m\right)^2=-23\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-2m+1\right)\left(2x+2m+1\right)=-23=1\cdot\left(-23\right)=\left(-1\right)\cdot23\)

Xét bảng sau: 

Vậy \(x\in\left\{5;-6\right\}\)

B1:dài quá :vv
B2:\(Q=\frac{x^2}{x^4+x^2+1}=\frac{x^2}{x^4+2x^2+1-x^2}=\frac{x^2}{\left(x^2+1\right)-x^2}=\frac{x^2}{\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+x+1\right)}\)

\(=\frac{x}{x^2-x+1}.\frac{x}{x^2+x+1}=\frac{2}{3}.\frac{x}{x^2+x+1}\)

\(\frac{x}{x^2-x+1}=\frac{2}{3}\Rightarrow\frac{x^2-x+1}{x}=\frac{3}{2}\Rightarrow\frac{x^2-x+1}{x}+2=\frac{3}{2}+2\Rightarrow\frac{x^2+x+1}{x}=\frac{7}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{x}{x^2+x+1}=\frac{2}{7}\Rightarrow Q=\frac{2}{3}.\frac{2}{7}=\frac{4}{21}\)

3.

Ta có: \(a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)=a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\left(a^2+1\right)\)

\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-4+5\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-4\right)+5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)

 \(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a-2\right)\left(a+2\right)+5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)   

Do a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2) là tích của 5 số hạng liên tiếp nên chia hết cho 2,3 và 5

Lại có a(a-1)(a+1) là tích của 3 số hạng liên tiếp nên chia hết cho 2,3 suy ra 5a(a-1)(a+1) chia hết cho 2,3,5

Từ đó:a(a-1)(a+1)(a-1)(a+2)+5a(a-1)(a+1) chia hết cho 2,3,5 hay a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)+5a(a-1)(a+1) chia hết cho 30 \(\Leftrightarrow a^5-a\) chia hết cho 30

Tương tự ta có\(b^5-b\) chia hết cho 30, \(c^5-c\) chia hết cho 30

Do đó:\(a^5-a+b^5-b+c^5-c⋮30\)

\(\Leftrightarrow a^5+b^5+c^5-\left(a+b+c\right)⋮30\)

Mà a+b+c=0 nên;

\(a^5+b^5+c^5⋮30\left(ĐCCM\right)\)