a là số tự nhiên > 0. giả sử có m,n > 0 ∈ Z để: 
2a + 1 = n^2 (1) 
3a +1 = m^2 (2) 
từ (1) => n lẻ, đặt: n = 2k+1, ta được: 
2a + 1 = 4k^2 + 4k + 1 = 4k(k+1) + 1 
=> a = 2k(k+1) 
vậy a chẵn . 
a chẳn => (3a +1) là số lẻ và từ (2) => m lẻ, đặt m = 2p + 1 
(1) + (2) được: 
5a + 2 = 4k(k+1) + 1 + 4p(p+1) + 1 
=> 5a = 4k(k+1) + 4p(p+1) 
mà 4k(k+1) và 4p(p+1) đều chia hết cho 8 => 5a chia hết cho 8 => a chia hết cho 8 

ta cần chứng minh a chia hết cho 5: 
chú ý: số chính phương chỉ có các chữ số tận cùng là; 0,1,4,5,6,9 
xét các trường hợp: 
a = 5q + 1=> n^2 = 2a+1 = 10q + 3 có chữ số tận cùng là 3 (vô lý) 

a =5q +2 => m^2 = 3a+1= 15q + 7 có chữ số tận cùng là 7 (vô lý) 
(vì a chẵn => q chẵn 15q tận cùng là 0 => 15q + 7 tận cùng là 7) 

a = 5q +3 => n^2 = 2a +1 = 10a + 7 có chữ số tận cùng là 7 (vô lý) 

a = 5q + 4 => m^2 = 3a + 1 = 15q + 13 có chữ số tận cùng là 3 (vô lý) 

=> a chia hết cho 5 

5,8 nguyên tố cùng nhau => a chia hết cho 5.8 = 40 
hay : a là bội số của 40

A = [n.(n+3)] . [(n+1).(n+2)]

   = (n^2+3n).(n^2+3n+2) > (n^2+3n)^2    (1)

Lại có : A = (n^2+3n).(n^2+3n+2) = (n^2+3n+1)^2-1 < (n^2+3n+1)^2    (2)

Từ (1) và (2) => (n^2+3n)^2 < A < (n^2+3n+1)^2

=> A ko phải là số chính phương

Tk mk nha

\(A=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)=\left[n\left(n+3\right)\right]\left[\left(n+1\right)\left(n+2\right)\right]\)

\(=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)=\left(n^2+3n\right)^2-2\left(n^2+3n\right)=\left(n^2+3n-1\right)^2-1\)

là số liền trc của 1 số chính phương nên nó ko thể là số chính phương (đpcm)

A = n n + 1 n + 2 n + 3

= n n + 3 n + 1 n + 2

= n 2 + 3n n 2 + 3n + 2

= n 2 + 3n 2 − 2 n 2 + 3n

= n 2 + 3n − 1 2 − 1 là số liền trc của 1 số chính phương nên nó ko thể là số chính phương (đpcm) 

Giả sử n=1

1x2x3x4=24

mà 24 ko là số chính phương

=>A = n(n+1)(n+2)(n+3) ko là số chính phương với mọi số m khác 0

mình là lớp 6 đó

Ta có:
A= n( n + 1 )( n + 2 )( n + 3 ) 
A = ( n² + 3n )( n² + 3n +2 ) 
A = ( n² + 3n )² + 2( n² + 3n ) 
A= ( n² + 3n )²
Mặt khác:
( n² + 3n )² < ( n² + 3n )² + 2( n² + 3n )²  = A
=> A không là số chính phương

Ta có : 3m² + m = 4n2 + n 
tương đương với 4(m² - n2) + (m - n) = m² 
hay là (m - n)(4m + 4n + 1) = m² (*)

Gọi d là ước chung lớn nhất của m - n và 4m + 4n + 1 thì (4m + 4n + 1) + 4(m - n) chia hết cho d => 8m + 1 chí hết cho d.

Mặt khác, từ (*) ta có : m² chia hết cho d² => m chia hết cho d.

Từ 8m + 1 chia hết cho d và m chia hết cho d ta có 1 chia hết cho d => d = 1.

Vậy m - n và 4m + 4n + 1 là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn (*) nên chúng đều là các số chính phương. 

Ta có :

A=n(n+1)(n+2)(n+3)

=n(n+3).(n+1)(n+2)

=(n2+3n)(n2+3n+2)

=(n2+3n)2+2(n2+3n)⇒A>(n2+3n)2

=[(n2+3n)2+2(n2+3n)+1]−1

=(n2+3n+1)2−1

Có :

(n2+3n+1)2>A>(n2+3n)2 nên A không phải số chính phương ( Vì A nằm giữa hai số chính phương )

=n(n+3).(n+1)(n+2)

=(n2+3n)(n2+3n+2)

=(n2+3n)2+2(n2+3n)⇒A>(n2+3n)2

=[(n2+3n)2+2(n2+3n)+1]−1

=(n2+3n+1)2−1

Có :