Ta có :

\(A=\sqrt{\left(x-y\right)^2}+\sqrt{\left(y-z\right)^2}+\sqrt{\left(z-x\right)^2}\)

\(=\left|x-y\right|+\left|y-z\right|+\left|z-x\right|\)

không mất tính tổng quát, giả sử \(0\le z\le y\le x\le3\)

Khi đó : A = x - y + y - z + x - z = 2x - 2z

vì \(0\le z\le x\le3\)nên : \(2x\le6;-2z\le0\Rightarrow2x-2z\le6\)

\(\Rightarrow A\le6\)

Vậy GTNN của A là 6 khi x = 3 ; z = 0 và y thỏa mãn \(0\le y\le3\)và các  hoán vị

cho mình sửa nha \(2\sqrt{2x-1}\)

\(\hept{\begin{cases}2\sqrt{2xy-y}+2x+y=10\left(1\right)\\\sqrt{3y+4}-\sqrt{2y+1}+2\sqrt{2x-1}=3\left(2\right)\end{cases}}\)

\(ĐK:x\ge\frac{1}{2};y\ge0\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(\sqrt{2x-1}+\sqrt{y}\right)^2=9\Leftrightarrow\sqrt{2x-1}+\sqrt{y}=3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x-1}=3-\sqrt{y}\)(*)

Thay \(\sqrt{2x-1}=3-\sqrt{y}\)vào (2), ta được: \(\sqrt{3y+4}-\sqrt{2y+1}-2\left(\sqrt{y}-2\right)-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{3y+4}-4\right)-\left(\sqrt{2y+1}-3\right)-2\left(\sqrt{y}-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{3\left(y-4\right)}{\sqrt{3y+4}+4}-\frac{2\left(y-4\right)}{\sqrt{2y+1}+3}-\frac{2\left(y-4\right)}{\sqrt{y}+2}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y-4\right)\left(\frac{3}{\sqrt{3y+4}+4}-\frac{2}{\sqrt{2y+1}+3}-\frac{2}{\sqrt{y}+2}\right)=0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y=4\Rightarrow x=1\\\frac{3}{\sqrt{3y+4}+4}=\frac{2}{\sqrt{2y+1}+3}+\frac{2}{\sqrt{y}+2}\left(3\right)\end{cases}}\)

Với \(y\ge0\)thì \(\frac{3}{\sqrt{3y+4}+4}\le\frac{1}{2}\)

Từ (*) suy ra \(y\le9\Rightarrow\frac{2}{\sqrt{2y+1}+3}+\frac{2}{\sqrt{y}+2}>\frac{1}{2}\)

Suy ra (3) vô nghiệm

Vậy hệ có cặp nghiệm duy nhất \(\left(x,y\right)=\left(1,4\right)\)

\(y\left(x+1\right)^2=-x^2+2018x-1\)

\(\Leftrightarrow y=\dfrac{-x^2+2018x-1}{\left(x+1\right)^2}=-1+\dfrac{2020x}{\left(x+1\right)^2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{2020x}{\left(x+1\right)^2}\in Z\)

Mà x và \(x\left(x+2x\right)+1\) nguyên tố cùng nhau

\(\Rightarrow2020⋮\left(x+1\right)^2\)

Ta có 2020 chia hết cho đúng 2 số chính phương là 1 và 4

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(x+1\right)^2=1\\\left(x+1\right)^2=4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=\left\{0;1\right\}\) \(\Rightarrow y\)

b.

Từ pt đầu:

\(x^2+xy-2y^2+2\left(x-y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+2y\right)+2\left(x-y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+2y+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y\\x=-2y-2\end{matrix}\right.\)

Thế xuống dưới ...

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2x+3}=a\ge0\\\sqrt{y}=b\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow b\left(b^2+1\right)-3a^2=\left(a^2+1\right)a-3b^2\)

\(\Rightarrow a^3-b^3+3a^2-3b^2+a-b=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)+\left(a-b\right)\left(3a+3b\right)+a-b=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2+3a+3b+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a=b\Rightarrow\sqrt{2x+3}=\sqrt{y}\)

\(\Rightarrow y=2x+3\)

\(\Rightarrow M=x\left(2x+3\right)+3\left(2x+3\right)-4x^2-3\) tới đây chắc chỉ cần bấm máy