Chứng minh bất đẳng thức
a)\(x^4-4x+5>0\)
b)\(x^4-x+\frac{1}{2}>0\)
Chứng minh bất đẳng thức: \(x^4-4x+5>0\)
Lời giải:
$x^4-4x+5=(x^4-2x^2+1)+(2x^2-4x+2)+2$
$=(x^2-1)^2+2(x-1)^2+2\geq 2>0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$
Ta có đpcm.
Chứng minh các bất đẳng thức:
a) \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\ge2xy\)
b) \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) với \(x>0,y>0\)
1/ Chứng minh bất đẳng thức
a) 4x^2 + 4x + 5 > 0
b) a^2 + ab + b^2 ≥ 0
2/ Tam giác ABC cân tại A, các phân giác BD và CE (D thuộc AC, E thuộc AB). Chứng minh BEDC là hình thang cân
3/ Tìm số nguyên x, y thỏa mãn 1 + x + x^2 + x^3 = y^3
4/ Giải phương trình: (x^2 - 25/4)^2 = 10x + 1
1/ a) \(4x^2+4x+5>0\)
<=> \(\left(4x^2+4x+1\right)+4>0\)
<=> \(\left(2x+1\right)^2+4>0\) (bất đẳng thức đúng với mọi x)
b) \(a^2+ab+b^2\)≥ 0
<=> \(2a^2+2ab+2b^2\) ≥ 0
<=> \(\left(a^2+2ab+b^2\right)+a^2+b^2\) ≥ 0
<=> \(\left(a+b\right)^2+a^2+b^{2^{ }}\) ≥ 0 (bất đẳng thức đúng với mọi a,b)
Dấu "=" xảy ra khi a + b = a = b = 0 hay a = b = 0.
2/
[Mình vẽ hình tượng trưng thôi chứ không đúng đâu nhé]
Xét tam giác ABD và tam giác ACE có
Góc A chung
AB = AC (Tam giác ABC cân tại A)
Góc ABD = góc ACE (=góc B/2 = góc C/2)
Suy ra: Tam giác ABD = tam giác ACE (g.c.g)
=> AE = AD (2 cạnh tương ứng)
=> Tam giác AED cân tại A
△ABC cân tại A
=> góc B = (180o - góc A)/2 (1)
△AED cân tại A (cmt)
=> góc AED = (180o - góc A)/2 (2)
Từ (1) và (2) => góc B = góc AED
=> ED //BC
=> Tứ giác BEDC là hình thang
mà góc B = góc C (Tam giác ABC cân tại A)
=> BEDC là hình thang cân.
3/ \(1+x+x^2+x^3=y^3\)
Ta nhận thấy: 1 + x + x2 = \(\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^{2^{ }}+\dfrac{3}{4}>0\) với mọi x
nên x3 < 1 + x + x2 + x3 hay x3 < y3 (1)
Xét hiệu (x+2)3 - y3 = (x+2)3 - (1+x+x2+x3) = 5x2 + 11x + 7
= \(5\left(x+\dfrac{11}{10}\right)^{2^{ }}+\dfrac{19}{20}>0\) nên (x+2)3 > y3 (2)
Từ (1) và (2) => x3 < y3 < (x+2)3
=> y3 = (x+1)3 (vì x,y là số nguyên)
hay 1 + x + x2 + x3 = (x+1)3
<=> x2 + x = 0 <=> x(x+1) = 0 <=> x = 0 hoặc x = -1
* Với x = -1 thì y = 1 + (-1) + (-1)2 + (-1)3 = 0
* Với x = 0 thì y = 1 + 0 + 02 + 03 = 1
Vậy Các số nguyên (x;y) cần tìm là (-1;0); (0;1).
4/ \(\left(x^2-\dfrac{25}{4}\right)^2=10x+1\)
<=> \(x^4-\dfrac{25}{2}x^2+\dfrac{625}{16}=10x+1\)
<=> \(x^4-\dfrac{25}{2}x^2-10x+\dfrac{609}{16}=0\)
<=> \(\left(x^4-\dfrac{7}{2}x^3\right)+\left(\dfrac{7}{2}x^3-\dfrac{49}{4}x^2\right)-\left(\dfrac{1}{4}x^2-\dfrac{7}{8}x\right)-\left(\dfrac{87}{8}x+\dfrac{609}{16}\right)=0\)
<=> \(\left(x-\dfrac{7}{2}\right)\left(x^3+\dfrac{7}{2}x^2-\dfrac{1}{4}x-\dfrac{87}{8}\right)=0\)
<=> \(\left(x-\dfrac{7}{2}\right)\left[\left(x^3-\dfrac{3}{2}x^2\right)+\left(5x^2-\dfrac{15}{2}x\right)+\left(\dfrac{29}{4}x-\dfrac{87}{8}\right)\right]=0\)
<=> \(\left(x-\dfrac{7}{2}\right)\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\left(x^2+5x+\dfrac{29}{4}\right)=0\)
<=> \(x-\dfrac{7}{2}=0\) hoặc \(x-\dfrac{3}{2}=0\) (vì \(x^2+5x+\dfrac{29}{4}\)≠ 0)
<=> x = 3.5 hoặc x = 1.5.
chứng minh bất đẳng thức :
chứng tỏ rằng:
1) x2-2x+3>0 Vx 2)x2-x+1>0Vx
3)x2+4x+7>0 Vx 4)-x2+4x-5<0 Vx
5)-x2-x-1<0 Vx 6)-4x2-4x-2<0 Vx
ai rảnh giúp mình với ạ pls @@
x2 - 2x + 3 = ( x2 - 2x + 1 ) + 2 = ( x - 1 )2 + 2 ≥ 2 > 0 ∀ x ( đpcm )
x2 - x + 1 = ( x2 - x + 1/4 ) + 3/4 = ( x - 1/2 )2 + 3/4 ≥ 3/4 > 0 ∀ x ( đpcm )
x2 + 4x + 7 = ( x2 + 4x + 4 ) + 3 = ( x + 2 )2 + 3 ≥ 3 > 0 ∀ x ( đpcm )
-x2 + 4x - 5 = -( x2 - 4x + 4 ) - 1 = -( x - 2 )2 - 1 ≤ -1 < 0 ∀ x ( đpcm )
-x2 - x - 1 = -( x2 + x + 1/4 ) - 3/4 = -( x + 1/2 )2 - 3/4 ≤ -3/4 < 0 ∀ x ( đpcm )
-4x2 - 4x - 2 = -4( x2 + x + 1/4 ) - 1 = -4( x + 1/2 )2 - 1 ≤ -1 < 0 ∀ x ( đpcm )
Chứng minh bất đẳng thức: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)với x,y>0, suy ra: \(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\le1\)với \(x+y\le1\).
Mình đang cần chứng minh phần sau nhé :))
Theo AM-GM , có :
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\)
Nhân vế theo vế :
\( \left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge4\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
Kurosaki Akatsu mình đang cần chứng minh phần sau nhé:))
Bạn ơi đề có nhầm không chứ khi dấu = xảy ra tức là a=b=1/2 thì Bt có Gt là 4 rồi
Chứng minh bất đẳng thức sau: (x≥0;x≠1;x≠\(\frac{1}{4}\)
\(\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+1\right)}{x\sqrt{x}-1}\) >\(\frac{2}{3}\)
Chứng minh bất đẳng thức sau: (x≥0;x≠1;x≠\(\frac{1}{4}\)
\(\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+1\right)}{x\sqrt{x}-1}\) >\(\frac{2}{3}\)
gọi bthuc trên là: A
xét hiệu A-2/3( bn tự rút gọn đưa về thành HĐT nhé tui đánh bàn phím mỏi tay lắm)
cm A-2/3>o=>A>2/3
Chứng minh bất đẳng thức sau: (x≥0;x≠1;x≠\(\frac{1}{4}\)
\(\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+1\right)}{x\sqrt{x}-1}\) >\(\frac{2}{3}\)
Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau thỏa mãn x :
a, x^2 + xy + y^2 + 1 > 0
b, x^4 + x^2 + 2 > 0
c, (x+3) . (x-11) + 2003 > 0
d, -9x^2 + 12x - 15 < 0
e, -5 - (x-1) . (x+2) < 0
Lưu ý : dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ
\(x^2+xy+y^2+1>0\)
\(\Leftrightarrow x^2+2.x.\frac{1}{2}y+\frac{1}{4}y^2+\frac{3}{4}y^2+1>0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{2}y\right)^2+\frac{3}{4}y^2+1>1\)
=>ĐPCM
\(x^4+x^2+2>0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2\right)^2+2x^2.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{7}{4}\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}>\frac{7}{4}\)
=>ĐPCM
\(\left(x+3\right)\left(x-11\right)+2003>0\)
\(\Leftrightarrow x^2-8x-33+2003>0\)
\(\Leftrightarrow x^2-8x+16+1954>0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)^2+1954>1954\)
=>ĐPCM
\(-9x^2+12x-15< 0\)
\(\Leftrightarrow-\left(3x^2+2.3.2x+4+11\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow-\left[\left(3x+2\right)^2+11\right]< 11\)
=>ĐPCM
\(-5-\left(x-1\right)\left(x+2\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow-5-\left(x^2-x-2\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow-5-\left(x^2-2x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{9}{4}\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow-5-\left[\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{9}{4}\right]< \frac{-11}{4}\)
=>ĐPCM