a) Xét \(\Delta MBD\)và \(\Delta MAC\)

có: \(\widehat{MAC}=\widehat{MBD}\)( cùng chắn cung MC)

\(\widehat{BMD}=\widehat{AMC}\)( cung AB=cung AC vì AB=AC)

=>  \(\Delta MBD\)~ \(\Delta MAC\)

b) Từ câu a)_

=> \(\frac{MB}{MA}=\frac{BD}{AC}\)(1)

\(\frac{MC}{MA}=\frac{MD}{MB}\)(2)

Dễ dàng chứng minh đc:

\(\Delta BDM~\Delta ADC\)

=> \(\frac{MD}{MB}=\frac{DC}{AC}\)(3)

Từ (1), (2), (3)

=> \(\frac{MB}{MA}+\frac{MC}{MA}=\frac{BD}{AC}+\frac{CD}{AC}=\frac{BC}{AC}\)\(=\frac{BC}{AB}\)

c) Lấy điểm E thuộc đoạn

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC \(\Rightarrow\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0\)

\(P=\left(\overrightarrow{MA}\right)^2+\left(\overrightarrow{MB}\right)^2+\left(\overrightarrow{MC}\right)^2\)

\(=\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}\right)^2+\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}\right)^2+\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right)^2\)

\(=3MG^2+GA^2+GB^2+GC^2+2\overrightarrow{MG}\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)\)

\(=3MG^2+GA^2+GB^2+GC^2\)

Mà \(GA^2+GB^2+GC^2\) cố định \(\Rightarrow P_{min}\) khi \(MG_{min}\)

\(\Rightarrow MG\perp BC\) \(\Rightarrow M\) là trung điểm BC

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, D là trung điểm BC

\(\Rightarrow\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}\)

Đặt \(T=MB^2+MC^2-2MA^2\)

\(T=\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}\right)^2+\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}\right)^2-2\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}\right)^2\)

\(=OB^2+OC^2-2OA^2+2\overrightarrow{MO}\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-2\overrightarrow{OA}\right)\)

\(=2\overrightarrow{MO}\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-2\overrightarrow{OA}\right)\)

\(=2\overrightarrow{MO}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)

\(=4\overrightarrow{MO}.\overrightarrow{AD}\)

\(=4R.AD.cos\left(\overrightarrow{MO};\overrightarrow{AD}\right)\)

Do R và AD cố định \(\Rightarrow T_{min}\) khi \(cos\left(\overrightarrow{MO};\overrightarrow{AD}\right)\) đạt min

\(\Rightarrow cos\left(\overrightarrow{MO};\overrightarrow{AD}\right)=-1\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{MO}\) và \(\overrightarrow{AD}\) là 2 vecto ngược chiều

\(\Rightarrow\) M là giao điểm của đường thẳng d và đường tròn ngoại tiếp tam giác, với d đi qua O và song song AD sao cho A và M nằm về 2 phía so với đường thẳng BC

Xét \(\Delta MBC\)ta có:

MB+MC>BC (theo bất đẳng thức tam giác)

Mà tam giác ABC đều nên AB=BC

suy ra MB+MC>AB

Ta lại có AB>MA nên MB+MC>MA

Kẻ MD // BC, MF // AC, ME // AB \(\left(D\in AB,F\in BC,E\in AC\right)\)

Ta có:

\(\widehat{DBF}=\widehat{ACB}\) ( \(\Delta ABC\) đều)

\(\widehat{MFB}=\widehat{ACB}\) ( 2 góc đồng vị và MF // AC)

\(\Rightarrow\)\(\widehat{DBF}=\widehat{MFB}\)

Mà MD // BF

Nên tứ giác DMFB là hình thang cân

\(\Rightarrow\)\(DF=MB\)    \(\left(1\right)\)

Chứng minh tương tự ta có:

\(EF=MC\)    \(\left(2\right)\)

\(DE=MA\)    \(\left(3\right)\)

Xét \(\Delta DEF\) theo bất đẳng thức trong tam giác ta có:

\(DF+EF>DE\)    \(\left(4\right)\)

Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra 

\(MB+MC>MA\left(đpcm\right)\)