a) \(\left\{{}\begin{matrix}mx+y=1.\\x+my=m+1.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=1-mx.\\x+m\left(1-mx\right)=m+1.\left(1\right)\end{matrix}\right.\) 

Xét (1): \(x+m\left(1-mx\right)=m+1.\Leftrightarrow x+m-m^2x-m-1=0.\Leftrightarrow\left(1-m^2\right)x-1=0.\left(2\right)\)

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. \(\Leftrightarrow\) (2) có nghiệm duy nhất. 

\(\Leftrightarrow1-m^2\ne0.\Leftrightarrow m^2\ne1.\Leftrightarrow m\ne\pm1.\)

b) Để hệ phương trình có vô số nghiệm. \(\Leftrightarrow\) (2) có vô số nghiệm.

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-m^2=0.\\-1=0.\end{matrix}\right.\) (vô lý).

\(\Rightarrow m\in\phi\).

c) Để hệ phương trình có vô nghiệm. \(\Leftrightarrow\) (2) có vô nghiệm.

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-m^2=0.\\-1\ne0.\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow1-m^2=0.\Leftrightarrow m^2=1.\Leftrightarrow m=\pm1.\)

Bài 1 : x² + x² -12 = 0

a = 1 , b = 1 , c = -12

∆ = 1 -4 × 1 × (-12) 

∆ = 49 > 0 .✓49 =7

Vậy pt có 2 ng⁰ pb ( tự viết nhé ) !

\(D=m^2-1;D_x=m^2-1;D_y=0\)

Nếu \(D=m^2-1\ne0\Leftrightarrow m\ne\pm1\)

Hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(1;0\right)\)

Nếu \(D=m^2-1=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-1\end{matrix}\right.\)

Hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm

\(\left\{{}\begin{matrix}mx-y=2\\x+my=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+m\left(mx-2\right)=1\\y=mx-2\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow x\left(m^2+1\right)=2m+1\Leftrightarrow x=\dfrac{2m+1}{m^2+1}\\ \Leftrightarrow y=\dfrac{m\left(2m+1\right)}{m^2+1}-2=\dfrac{2m^2+m-2m^2-2}{m^2+1}=\dfrac{m-2}{m^2+1}\)

Ta có \(x+y=1\Leftrightarrow\dfrac{2m+1+m-2}{m^2+1}=1\)

\(\Leftrightarrow3m-1=m^2+1\\ \Leftrightarrow m^2-3m+2=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=2\end{matrix}\right.\)